Ce chapitre pourrait très bien s'intituler L'histoire de Georg Cantor, puisque c'est à ce grand mathématicien allemand, né à Saint-Petersbourg en 1845 et mort à Halle en 1918, que sont dus la plupart des résultats qui y sont présentés. Toutefois, suivre à la lettre l'ordre historique aurait probablement posé des problèmes techniques et de commodité de présentation. Nous avons donc choisi de commencer par examiner les toutes premières propriétés de l'infini avec nos mots à nous, et de reporter au chapitre suivant la description historique de ces grandes découvertes.

Dans la section 1 on donne la définition de l'infini actuel selon Dedekind, ainsi que quelques caractérisations. On rappelle les définitions naïves des ensembles ℕ, ℤ , 𝔻, ℚ, ℝ, ℂ, et on profite de l'occasion pour discuter de façon informelle du statut de la notion de fonction.

A la section 2 on découvre l'existence de deux sortes d'infinis : le dénombrable et le continu. Un ensemble est dénombrable s'il peut être mis en bijection avec ℕ. On montre que ℤ et ℚ sont dénombrables, ainsi que l'ensemble des nombres algébriques. Par contre ℝ n'est pas dénombrable, et on va voir que ce phénomène s'inscrit dans une généralité. En attendant, l'existence de deux ou plusieurs sortes d'infinis nous incite à donner une définition naïve de la cardinalité dans le cas infini.

La section 3 est consacrée au célèbre théorème de Cantor-Bernstein, dont on donne 2 démonstrations élémentaires, ainsi que 2 applications fondamentales : ℝ est en bijection avec ℝ² (il y a en un certain sens autant de points sur une droite que dans le plan), et aussi avec l'ensemble des parties de ℕ.

A la section 4 on démontre le théorème de Cantor, qui dit que pour tout ensemble X on a Card(𝓟(X))>Card(X). Cet état de fait nous donne une autre démonstration de la non-dénombrabilité de ℝ, et prouve l'existence d'une infinité de sortes d'infinis. Mais le théorème de Cantor-Bernstein nous conduit à hiérarchiser l'infini en décrétant que Card(X)≤Card(Y) ssi il existe une injection de X dans Y. Se posent alors 2 problèmes : celui du continu et celui de la totalité de l'ordre sur les cardinaux.

La section 5 est consacrée à prouver que, pour l'essentiel, ce dernier problème revient à se poser la question de l'existence d'un bon ordre sur tout ensemble. On y dégage la notion d'ensemble bien ordonné, et on définit naïvement ce qu'est un ordinal, avant de donner quelques exemples. On termine cet exposé en constatant que la théorie naïve ainsi construite est contradictoire, à cause du paradoxe de Burali-Forti, ce qui semble imposer une certaine nécessité à la méthode axiomatique.

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