Dans ce chapitre nous définissons la classe L des ensembles constructibles de Gödel, qui lui a permis, en 1938, de démontrer la non-contradiction relative de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu avec la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, l'article fondateur ayant été publié en 1940.

A la section 1 on présente les motivations, qui sont multiples. La première est de montrer que, si ZF est consistante (donc si elle admet un modèle de référence (V ,∈) ), il est possible de construire un modèle intérieur "minimal" de V (noté L) au sens où tout modèle intérieur M contient L. L'autre grande motivation consiste à prouver que L satisfait à la fois AC et HGC, ce qui, via la partie facile du théorème de complétude, permet bien d'atteindre l'objectif fixé ci-dessus.

La section 2 est consacrée à des préliminaires un peu techniques. La première difficulté consiste à reformaliser, à l'intérieur de l'univers V, l'ensemble des formules ensemblistes qui a été défini de façon naïve au Chapitre 4. On définit la valeur d'une formule, la restriction d'une formule à un ensemble, et on démontre une variante ensembliste du théorème de Löwenheim-Skolem. On explique ensuite ce que sont les ensembles définissables en termes d'ordinaux, définissant ainsi les classes OD et HOD . On donne au passage une propriété des énoncés d'arithmétique, puis on termine par l'énoncé du "principe du choix", dont on donne l'équivalence avec V=OD .

A la section 3 on introduit la classe L des ensembles constructibles. Pour ce faire on part de la notion de sous-ensembles définissables avec paramètres, puis on définit la hiérarchie des L_α pour α ordinal. Le principe est le même que pour la hiérarchie cumulative des V_α , sauf qu'à l'étape α+1 on ne prend que les parties définissables de L_α. On définit alors la classe L par la formule

x∈L↔∃α (ON(α)∧x∈L_α) . On énonce ensuite l'axiome de constructibilité, noté V=L, puis on montre que L est modèle intérieur de ZF.

La section 4 est consacrée à la vérification du fait que l'axiome de constructibilité est satisfait dans L, ce qu'on note L⊨(V=L). Le résultat est moins trivial qu'il n'y paraît, pour des raisons d'absoluité. On en déduit que L est minimal, au sens où tout modèle intérieur de ZF le contient.

A la section 5 on montre que le modèle L satisfait AC, ce qui permet de donner une preuve de la consistance de l'axiome du choix avec ZF.

Le résultat phare de ce chapitre est donné à la section 6 : L satisfait l'hypothèse généralisée du continu. Là encore on en déduit un résultat de consistance relative, puis on revient un instant sur les énoncés d'arithmétique.

A la section 7 on donne une construction alternative de L à l'aide des opérations de Gödel et des classes stratifiées, ce qui permet d'en déduire une deuxième preuve du fait que L⊨ZFC .

La section 8 est consacrée à la notion de constructibilité relative (qui est une généralisation de la constructibilité usuelle) et à la description de quelques autres modèles intérieurs de ZF. On définit ainsi les classes L[A], L(A) , puis on revient aux classes OD et HOD , et on définit les classes HOD(A) . On donne au passage et très brièvement quelques propriétés élémentaires de ces classes.

Enfin, la section 9 consiste en une discussion philosophique sur l'opportunité d'adopter ou non l'axiome de constructibilité V=L dans notre étude de la théorie des ensembles.

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