Dans ce chapitre on découvre la notion de filtre sur un ensemble, et on examine les conséquences de AC en termes d'ultrafiltres et de compacité.
A la section 1 on explique les motivations qui ont conduit, dans une tentative d'unification de la notion de limite, à la définition des filtres.
La section 2 est un exposé assez exhaustif concernant les généralités sur les filtres. Après avoir donné la définition générale on examine les deux exemples les plus canoniques de filtres : le filtre de Fréchet sur un ensemble infini, et le filtre des voisinages d'un point dans un espace topologique. On donne ensuite la définition d'une base de filtre, agrémentée là encore de quelques exemples. Puis on découvre la notion de filtre image, qui permet de donner une définition générale des limites avec filtres ou bases de filtre. On termine par la notion de finesse, qui n'est autre que l'inclusion inverse : un filtre 𝓕 est plus fin qu'un filtre 𝓖 si 𝓕⊇𝓖.
La section 3 est consacrée à l'étude des ultrafiltres. Un ultrafiltre sur un ensemble X est un filtre qui est maximal pour la finesse. On donne l'exemple (trivial) des ultrafiltres principaux, puis on explique qu'on ne sait pas exhiber un ultrafiltre non principal. Les ultrafiltres admettent une caractérisation fort utile : 𝓤 étant un filtre sur X, c'est un ultrafiltre ssi, pour toute partie A de X , on a soit A∈𝓤 , soit (X-A)∈𝓤. On montre alors, sous AC, que pour tout filtre 𝓕 il existe un ultrafiltre 𝓤 plus fin que 𝓕. Ce résultat fondamental nous permet de donner quelques propriétés des ultrafiltres : passage à l'image, tout ultrafiltre non principal est plus fin que le filtre de Fréchet, tout filtre est égal à l'intersection des ultrafiltres qui le contiennent. On termine par des remarques philosophiques sur la notion d'ultrafiltre.
A la section 4 on fait le lien entre les filtres et la notion de compacité. Après quelques rappels de topologie générale, on explique ce qu'est la convergence d'un filtre, et la notion de point adhérent à un filtre. On peut alors caractériser les compacts sous AC : un espace topologique séparé est compact ssi tout filtre admet un point adhérent, ssi tout ultrafiltre est convergent. Puis on démontre le théorème de Tychonoff, qui dit que tout produit cartésien (fini ou infini) de compacts est compact.
Enfin, à la section 5 on explique brièvement à quoi va nous servir la notion d'ultrafiltre, à la fois en théorie des ensembles et en théorie des modèles.