Théorie des ensembles - Chapitre 10
Diverses variantes de l'axiome du choix - Applications classiques
Ce long chapitre constitue un premier contact avec l'axiome du choix.
A la section 1 on en rappelle les principes fondateurs : en 1904, Ernst Zermelo était à la recherche d'un axiome trivial permettant de justifier l'existence d'un bon ordre sur tout ensemble. On en profite pour ouvrir une parenthèse historique dans laquelle on détaille l'axiomatique originelle telle qu'elle fut exposée par Zermelo en 1908.
A la section 2 on donne 4 variantes de l'axiome du choix AC (dont celle formulée initialement par Zermelo) dont on montre qu'elles sont équivalentes entre elles.
La section 3 est consacrée à deux variantes affaiblies de AC, à savoir l'axiome du choix dénombrable ACω , et l'axiome du choix dépendant ACD. On montre que AC⇒ACD⇒ACω , et on signale qu'il faudra travailler davantage pour montrer que les réciproques sont fausses.
A la section 4 on donne quelques conséquences immédiates de ACω , ACD et AC.
A la section 5 on donne deux formulations équivalentes de l'axiome du choix : le lemme de Zorn (tout ensemble ordonné, non vide et inductif possède un élément maximal) et le théorème de Zermelo (tout ensemble peut être bien ordonné). On donne deux démonstrations, philosophiquement très différentes, du fait que AC⇒(Zorn) , puis on montre que (Zorn)⇒(Zermelo) et que (Zermelo)⇒AC .
La section 6 est consacrée aux applications classiques de l'axiome du choix :
- Existence de bases dans un espace vectoriel de dimension quelconque, exemple des bases de Hamel.
- Existence d'idéaux maximaux, théorème de Steinitz : tout corps admet une clôture algébtique.
- 𝕂 étant un corps commutatif et 𝕃 une extension de 𝕂, existence d'une base de transcendance de 𝕃 sur 𝕂, cas particulier des bases de transcendance de ℂ sur ℚ.
- Le théorème de Hahn-Banach.
- Existence d'ultrafiltres.
- Influence de AC sur la hiérarchie des cardinaux infinis.
A la section 7 on montre (propriété assez méconnue) que l'axiome du choix est équivalent à la propriété suivante : de deux ensembles A et B , il y en a toujours au moins un qui peut s'injecter dans l'autre.
Enfin, on termine à la section 8 par une discussion philosophique autour de l'opportunité d'incorporer ou non l'axiome du choix à la liste des préceptes fondamentaux de notre théorie fondatrice. En tout état de cause on note ZFC* la théorie ZF* augmentée de l'axiome du choix.