Este seminario de ocho sesiones ofrece un recorrido fundamental por la geometría de las curvas planas, explorando la intersección entre el álgebra polinomial y la intuición geométrica. Transitaremos desde las raíces clásicas hasta los teoremas fundamentales que definen el área moderna.

Programa

• Sesión 1: Prehistoria y Motivación
  Exploración de los orígenes clásicos, desde los problemas de Apolonio hasta el surgimiento de las secciones cónicas en la antigüedad.

• Sesión 2: Geometría de Coordenadas
  La transición del plano afín al plano proyectivo. Definición de curvas como el lugar de ceros de polinomios homogéneos.

• Sesión 3: Números de Intersección
  Análisis de la multiplicidad de intersección y del comportamiento local de las curvas, tanto en puntos singulares como lisos.

• Sesión 4: Teorema de Bézout
  Estudio del resultado central: por qué dos curvas proyectivas de grados N y M se intersecan en exactamente NxM puntos (contando multiplicidad).

• Sesión 5: Geometría de las Cónicas
  Clasificación y formas cuadráticas. Exploración de la equivalencia proyectiva de las curvas de grado 2.

• Sesión 6: Cúbicas y Puntos de Inflexión
  Introducción a las curvas de grado 3, sus puntos de inflexión y una breve mirada a la ley de grupo.

• Sesión 7: Dualidad y Curvas Duales
  El principio de dualidad proyectiva: la correspondencia entre puntos y rectas tangentes.

• Sesión 8: Género de una Curva Plana
  Cierre con la fórmula del grado-género y la conexión entre el grado algebraico y la topología de la curva.

Este minicurso está diseñado como una puerta de entrada fundamental al mundo de la Geometría Algebraica Proyectiva. A través del estudio de las cónicas —los ejemplos más simples pero profundos de curvas algebraicas— los estudiantes transitarán desde la intuición euclidiana clásica hacia los potentes métodos de la geometría moderna.

El objetivo principal es dotar a los estudiantes de las herramientas necesarias para clasificar cónicas en diversos entornos: afín, proyectivo y sobre distintos cuerpos algebraicos. Exploraremos la profunda interacción entre el álgebra lineal (formas bilineares y matrices simétricas) y la geometría, culminando en una introducción a la topología de Zariski y al estudio de familias de cónicas (haces).

Al finalizar el curso, los participantes comprenderán cómo estos objetos clásicos sirven como piedra angular para la investigación contemporánea en variedades algebraicas de mayor dimensión.

Objetivos de aprendizaje clave:

• Dominio de las coordenadas homogéneas y la estructura del plano proyectivo.

• Comprensión de la transición de ecuaciones afines a variedades proyectivas.

• Análisis del espacio de parámetros de las cónicas y sus degeneraciones.

Organizado por el proyecto DelTaMat, Jimmy Santamaria y Charlie Lozano en la Universidad Mayor de San Andrés, este curso de dos semanas sirve como una introducción a la geometría algebraica a través del estudio de las curvas algebraicas afines. En la primera semana, exploraremos la categoría de los conjuntos algebraicos, sentando las bases para comprender su estructura. La segunda semana se centrará en las curvas planas, examinando sus propiedades fundamentales y ejemplos clave.

El curso está diseñado para estudiantes interesados en desarrollar una intuición geométrica de las variedades algebraicas a nivel básico.