Datas das provas
P1 (8 de outubro) - resolução da prova
P2 (3 de dezembro) - resolução da prova
Plantão de Dúvidas
2a, 4a, 17h30-18h30, sala do professor (PA320, 3o andar do Bloco PA)
Algumas referências
Ibrahim Assem, "Algebres et Modules" - referência principal.
J. J. Rotman, "Advanced Modern Algebra".
J. J. Rotman, "An introduction to Homological Algebra".
Drozd, Kirichenko, "Finite dimensional algebras".
Y. T. Lam, "Lectures on Modules and rings".
N. Jacobson, "Basic Algebra", vols 1, 2.
N. Jacobson, The radical and semissimplicity for arbitrary rings, 1945.
Os materiais a seguir trazem aprofundamentos sobre tópicos relevantes, mas que não devemos abordar no curso com detalhes.
M. Brion, "Representations of quivers"
J. P. Serre, "Linear representations of groups"
Exercícios sugeridos.
Capítulo 1 [AM] - todos com exceção de 17. Nos exercícios 2, 3, 4 e 13, suponha que K é um corpo. O exercício 5 está com um erro no enunciado: o enunciado correto é "I é ideal maximal de A se e somente se A/I é uma álgebra simples" (uma álgebra é simples se não tem ideal próprio além do ideal nulo). O exercício 17 está errado e não vimos ainda uma correção razoável.
Capítulo 2 [AM] - todos menos 7, 12, 13, 25, 26, 33. (se der tempo, façam também, mas me parecem menos importantes)
Capítulo 3 [AM]: somas diretas, produtos diretos, módulos livres: 6, 7, 8, 9, 10; 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19; 26, 27, 28; 32, 33. Onde aparecer "categoria k-linear" ou "categoria abeliana" no enunciado, substitua por "categoria de A-módulos".
Capítulo 6 [AM], módulos artinianos e noetherianos, decomposição em blocos.
Capítulo 6 e Capítulo 7 [AM], módulos e álgebras semissimples, séries de composição, teorema de Jordan-Holder, radical de módulos e álgebras
Capítulo 4 [AM]: projetivos, injetivos; pushout e pullback.
Capítulo 5 [AM] : tensores
Capítulo 9 [AM] : complexos e homologia, funtores derivados, funtores Ext e extensões
11/08
módulos sobre anel comutativo k (submódulos, aplicações k-lineares). k-álgebras (subálgebras, ideais esq/dir/bilaterais, quocientes). Exemplos importantes: End_k(M), Mat_n(k), UT_n(k) (matrizes triangulares superiores), k-álgebra de grupo k G. [estudar em casa: operações om ideais (soma, produto, interseção), ideal gerado]
13/08
morfismos de k-álgebras: composição, isomorfismo, kernel e imagem. Os 3 teoremas de isomorfismos para k-álgebras. O teorema de correspondência para k-álgebras.
18/08
[cancelada por motivo de saúde]
20/08
Módulos sobre uma k-álgebra
25/08
Morfismos entre módulos. Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos; núcleo e conúcleo de um morfismo. Sequências Exatas. Props 3.1 e 3.3, Corols 3.2 e 3.4 do livro. 3o teorema dos isomofismos (teorema II 4.3).
01/09
Categorias e funtores (covariantes): definições e exemplos. (B,A)-bimódulo M e o funtor Hom (M,-) : Mod A -> Mod B
03/09
Funtores contravariantes e a categoria oposta. Transformações naturais. Isomorfismos e equivalências de categorias. (parcial) As categorias de A-módulos e Mat_n(A)-módulos são equivalentes.
08/09
Feriado municipal.
10/09
Produto e coproduto em uma categoria; soma e produto diretos em Mod A. Definições equivalentes para soma direta interna de submódulos. Módulos indecomponíveis. Se k é corpo, todo A-módulo de dimensão finita é soma direta de indecomponíveis.
15/09
Aplicações A-lineares entre somas e produtos diretos. Teorema de Wedderburn-Artin. Módulos livres.
17/09
Módulos e álgebras noetherianos/as e artinianos/as.
22/09
Decomposição de um módulo artiniano (ou noetheriano) em soma direta de indecomponíveis (existência). Idempotentes. Teorema 3.4: Decomposição de uma álgebra artiniana (ou noetheriana) em blocos, isto é, em soma direta de ideais gerados por idempotentes primitivos (existência e unicidade).
24/09
Discussão de problemas.
29/09
Séries de composição e o teorema de Jordan-Holder.
06/10
cancelada (reunião de coordenadores)
08/10
Prova 1
13/10
Módulos e Álgebras Semissimples. Teorema de Maschke para álgebras de grupo. Teorema de Wedderburn-Artin. Módulos semissimples de dimensão finita, sobre uma álgebra de dimensão finita, são identificados pela função traço.
15/10
Teorema de Maschke (recíproca). Radical de Jacobson de um módulo; radical da soma direta, radical de um módulo quociente, imagem do radical por aplicações A-lineares. Módulos semissimples e o radical. Radical de uma álgebra (resultados iniciais).
20/10
cancelado
22/10
Radical de uma álgebra. Se é artiniana então (i) A/rad(A) é semissimples; (ii) se M é A-módulo então rad(M) = M rad(A); (iii) rad(A) é o maior ideal nilpotente de A; (iv) I = rad(A) é o único ideal nil de A tal que A/I é semissimples.
24/10 (reposição)
Módulos projetivos. Definições equivalentes de módulos projetivos, soma direta e módulos projetivos; corresponde aproximadamente à seção 2 do capítulo IV, mais o exercício 15. Na próxima aula veremos a relação entre P ser projetivo e o funtor Hom_A(P, - ) ser exato (que é a definição de projetivo no livro).
27/10
Funtores exatos. Hom_A(X,-) é exato à esquerda para todo X; Hom_A(X,-) é exato se e somente se X é projetivo. Equivalências entre categorias de módulos e teorema de Morita (parcial): se as álgebras A e B têm categorias de módulos equivalentes então existe um progerador P em Mod A tal que B é isomorfa a End_A(P) .
29/10
Hom_A(-,Y) é (contravariante) exato à esquerda para todo Y. Módulos Injetivos. Produto direto e injetividade. Criterio de Baer. Módulos divisíveis e módulos injetivos.
03/11
Módulos injetivos, pushout e pullback, cogerador injetivo. Teorema: Existe cogerador injetivo em Mod A. Proposição: Dado um A-módulo I, I é injetivo se e somente se toda S.E.C. que inicia com I cinde.
05/11
Produto tensorial: existência e unicidade. O produto tensorial dá origem a funtor covariante. Produto tensorial comuta com somas diretas.
10/11
Propriedades funtoriais do produto tensorial. Pares adjuntos. Dado M um (A,B)-bimódulo, temos um par adjunto (-\otimes_A M, Hom_B(M,-_) ). Pares adjuntos associados a um morfismo de álgebras. Se (F,G) é par adjunto então F é exato à direita e G é exato à esquerda. Ambos os funtores associados a tensores por bimódulos são exatos à direita. Estudar: módulos planos, soma direta de módulos planos, todo projetivo é plano; Teoremas de Watts.
12/11
1o Teorema de Watts. Teorema de Morita.
17/11
Complexos, homologia, funtores de homologia. Sequência exata longa de homologia.
19/11
Homotopia, funtores derivados.
24/11
Lema da Ferradura, sequencia exata longa de homologia para funtores derivados. 0-derivada à dir (esq) de funtor exato á esq(dir) F é isomorfo a F. Funtores Ext (funtores derivados dos funtores Hom(M, - ) e Hom( - , M) ).
26/11
Ext^1(M,N) e as classes de equivalência de extensões de N por M.
28/11 [reposição]
Exercícios
01/12
Cancelado: vestibular na UFPR.
03/12
Prova 2.