Datas das provas
P1 - 25 de setembro
P2 - 6 de novembro -
P3 - 11 de dezembro
Algumas referências
Ibrahim Assem, "Algebres et Modules" - referência principal.
J. J. Rotman, "Advanced Modern Algebra".
J. J. Rotman, "An introduction to Homological Algebra".
Drozd, Kirichenko, "Finite dimensional algebras".
Y. T. Lam, "Lectures on Modules and rings".
N. Jacobson, "Basic Algebra", vols 1, 2.
Os materiais a seguir devem ser usados em alguns momentos específicos do curso.
M. Brion, "Representations of quivers"
J. P. Serre, "Linear representations of groups"
Exercícios sugeridos.
Capítulo 1, [AM] - todos.
Capítulo 2, [AM] - todos menos 7, 12, 13, 25, 26, 33. (se der tempo, façam também, mas me parecem menos importantes)
Capítulo 3, [AM]: somas diretas, produtos diretos, módulos livres: 6, 7, 8, 9, 10; 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19; 26, 27, 28; 32, 33. Onde aparecer "categoria k-linear" no enunciado, substitua por "categoria de A-módulos".
Capítulo 6 [AM] : Módulos e álgebras artinianos e noetherianos, decomposição em blocos
Capítulo 6 [AM] : Teorema de Jordan-Holder, Módulos e álgebras semissimples, Teorema de Wedderburn-Artin
Capítulo 7 [AM]: Radical de módulos e de álgebras
Capítulo 4 [AM]: Módulos projetivos e módulos injetivos
Capítulo V [AM]: Produto tensorial . Depois destes, tentem também os exercícios de 1 a 26 que não estiverem listados aqui.
Capítulo 9 [AM]: Teoria de Morita, Funtores de Homologia I.
Capítulo 9 [AM]: Funtores Ext
Capítulo 9 [AM] : Funtores Ext, parte II
21/08
K-algebras com K corpo. Exemplos: operadores, matrizes, extensao de corpos, Quatérnios (alg de divisao). Morfismos. Exemplos: rep regular de A em End(A) e em Mat_n(k). Módulos. Def por morfismo A --> End(A). (módulo à direita: antimorfismo). Reps de grupos: definição de KG, equivalência com kG-módulos à esquerda. Módulos sobre Mat_n(K): matrizes linha e matrizes coluna.
26/08
K-módulos e K-algebras sobre um anel comutativo K. K-algebra de incidencia de um conjunto ordenado. Ideais laterais e bilaterais, ideais laterais em Mat_n(K). K-álgebra quociente. Produto de K-álgebras, Matrizes com entradas em uma K-álgebra.
28/08
Morfismos de K-álgebras. Teoremas de isomorfismos (I.2.3, 2.4, 2.5). Teorema da Correspondência (I. 2.6). A-MÓDULOS. Representações de A em M correspondem a estruturas de A-módulos à direita em M.
02/09
Submódulos e Quocientes, restrição de escalares (ex II.1 pag 40). Questão: temos bijeção entre A/I-módulos e A-módulos com anulador contendo I ? Soma e interseção de famílias de submódulos, geradores, submódulos maximais. Morfismos de A-módulos (aplicações A-lineares). Mono, epi, isomorfismo. Sequencias exatas. Passagem ao núcleo (prop 3.1, cor 3.2). [estudar em casa: passagem ao conúcleo]
04/09
Teoremas de isomorfismos de A-módulos (II.4.1, II.4.2, II.4.3). Lema dos 5. Lema da Serpente. Lema 3x3. Teorema da Correspondência para A-módulos. Exemplo: Q é um Z-módulo que não é finitamente gerado e que não possui submódulo maximal.
09/09
discussão de exercícios do capítulo I.
11/09
Categorias e Funtores. Funtores Hom.
16/09
Bimódulos e funtores entre categorias de módulos; se M \in ModA então M é (End_A(M), A)-bimódulo. Transformações naturais. Produto e coproduto em categorias, produto direto e soma direta em Mod A.
18/09
Módulos livres
23 e 25/09
Aula de exercícios; prova 1.
30/09
Módulos e álgebras artinianos e noetherianos, incluindo: o módulo M é noetheriano se e somente se todo submódulo é finitamente gerado; toda k-algebra que é DIP é noetheriana; teorema da base de Hilbert. (seções 1 e 2 do Capítulo VI do livro [AM]).
02/10
Isomorfismo e equivalência de categorias. Decomposição de uma álgebra em blocos, até teorema 3.4 do [AM].
07/10
Teorema de Krull-Schmidt para módulos artinianos ou noetherianos (existência da decomposição), teorema 3.4, Teorema Chinês dos restos para álgebras, séries de composição, fatores de composição, existência de séries de composição (<=> módulo é artiniano e noetheriano), teorema de Jordan-Holder.
09/10
Módulos semissimples, sequências exatas curtas cindidas, Teorema de Wedderburn-Artin.
14/10
Teorema de Maschke. Radical de módulos: radical da soma direta, imagem do radical por homomorfismo, radical de módulo quociente. Teorema: M é artiniano com rad(M)=0 se e somente se M é semissimples com comprimento finito. Lema(s) de Nakayama.
16/10
radical de álgebra, A e A/J(A) têm os mesmos módulos semissimples, se A é a artiniana então rad(M) = M J(A). teorema de Hopkins-Levitski, teorema de Wedderburn-Malcev (enunciado).
21/10, 23/10
canceladas por motivo de saúde
28/10
módulos injetivos: produto direto, critério de Baer, módulos divisíveis, cogerador injetivo, mergulho de módulo em módulo injetivo
30/10
pushout: construção do pushout em Mod A, "paralelismo" de monos e epis, completamento de diagrama usando pushout, aplicação: I é injetivo se e somente se toda SEC começando em I cinde. Definição de par adjunto, funtor extensão de escalares Hom_Z (A, _), existência de cogerador injetivo em Mod A.
4/11, 5/11, 6/11
aulas de discussão de exercícios e prova P2.
11/11
tensores: construção, interpretação como funtor de Mod A x A Mod em Mod k, funtores associados Mod A--> Mod k e A Mod --> Mod k, base do tensor de k-módulos livres, associatividade, tensor de bimódulos é bimódulo, exemplos, comutação com soma direta, produto tensorial de algebras
18/11
propriedades funtoriais de equivalências k-lineares entre categorias de módulos. Propriedades de módulos geradores de Mod A. Lema: se A e B são Morita equivalentes então a álgebra B é isomorfa à álgebra End_A(P) em que P é um A-módulo progerador, isto é, projetivo finitamente gerado e gerador de Mod A.
20/11
feriado.
25/11
Teoria de Morita. Introdução à álgebra homológica: categoria dos complexos, funtores de homologia, sequência exata longa.
27/11
Teorema da comparação, funtores derivados, sequência exata longa para funtores derivados.
29/11 (reposição)
Funtores Ext^n.
2/12
cancelada - vestibular.
4/12
Funtor Ext^1 e extensões de módulos: definição do conjunto E(M,N) de classes de equivalências de extensões de M por N, bijeção entre Ext^1_A (M,N) e E(M,N), exemplos.
9/12
Aula de exercícios, revisão
11/12
P3