Aulas

21/08

K-algebras com K corpo. Exemplos: operadores, matrizes, extensao de corpos, Quatérnios (alg de divisao). Morfismos. Exemplos: rep regular de A em End(A) e em Mat_n(k). Módulos. Def por morfismo A --> End(A). (módulo à direita: antimorfismo). Reps de grupos: definição de KG, equivalência com kG-módulos à esquerda. Módulos sobre Mat_n(K): matrizes linha e matrizes coluna.   

26/08

K-módulos e K-algebras sobre um anel comutativo K. K-algebra de incidencia de um conjunto ordenado. Ideais laterais e bilaterais, ideais laterais em Mat_n(K). K-álgebra quociente. Produto de K-álgebras, Matrizes com entradas em uma K-álgebra. 

28/08

Morfismos de K-álgebras. Teoremas de isomorfismos (I.2.3, 2.4, 2.5). Teorema da Correspondência (I. 2.6).  A-MÓDULOS. Representações de A em M correspondem a estruturas de A-módulos à direita em M. 

02/09

Submódulos e Quocientes, restrição de escalares (ex II.1 pag 40). Questão: temos bijeção entre A/I-módulos e A-módulos com anulador contendo I ? Soma e interseção de famílias de submódulos, geradores, submódulos maximais.  Morfismos de A-módulos (aplicações A-lineares). Mono, epi, isomorfismo. Sequencias exatas. Passagem ao núcleo (prop 3.1, cor 3.2). [estudar em casa: passagem ao conúcleo]

04/09

Teoremas de isomorfismos de A-módulos (II.4.1, II.4.2, II.4.3). Lema dos 5. Lema da Serpente. Lema 3x3.  Teorema da Correspondência para A-módulos.  Exemplo: Q é um Z-módulo que não é finitamente gerado e que não possui submódulo maximal. 

09/09

discussão de exercícios do capítulo I. 

11/09 

Categorias e Funtores. Funtores Hom. 

16/09

Bimódulos e funtores entre categorias de módulos; se M \in ModA então M é (End_A(M), A)-bimódulo.  Transformações naturais. Produto e coproduto em categorias, produto direto e soma direta em Mod A. 

18/09

Módulos livres

23 e 25/09

Aula de exercícios; prova 1. 

30/09

Módulos e álgebras artinianos e noetherianos, incluindo: o módulo M é noetheriano se e somente se todo submódulo é finitamente gerado; toda k-algebra que é DIP é noetheriana; teorema da base de Hilbert.  (seções 1 e 2 do Capítulo VI do livro [AM]). 

02/10 

Isomorfismo e equivalência de categorias. Decomposição de uma álgebra em blocos, até teorema 3.4 do [AM].

07/10

Teorema de Krull-Schmidt para módulos artinianos ou noetherianos (existência da decomposição), teorema 3.4, Teorema Chinês dos restos para álgebras, séries de composição, fatores de composição, existência de séries de composição (<=> módulo é artiniano e noetheriano), teorema de Jordan-Holder.  

09/10 

Módulos semissimples, sequências exatas curtas cindidas, Teorema de Wedderburn-Artin. 

14/10 

Teorema de Maschke. Radical de módulos: radical da soma direta, imagem do radical por homomorfismo, radical de módulo quociente. Teorema: M é artiniano com rad(M)=0 se e somente se M é semissimples com comprimento finito. Lema(s) de Nakayama.

16/10 

radical de álgebra, A e A/J(A) têm os mesmos módulos semissimples, se A é a artiniana então rad(M) = M J(A). teorema de Hopkins-Levitski, teorema de Wedderburn-Malcev (enunciado). 

21/10, 23/10 

canceladas por motivo de saúde

28/10

módulos injetivos: produto direto, critério de Baer, módulos divisíveis, cogerador injetivo, mergulho de módulo em módulo injetivo 

30/10

pushout: construção do pushout em Mod A, "paralelismo" de monos e epis,  completamento de diagrama usando pushout, aplicação: I é injetivo se e somente se toda SEC começando em I cinde. Definição de par adjunto, funtor extensão de escalares Hom_Z (A, _), existência de cogerador injetivo em Mod A. 

4/11, 5/11, 6/11

aulas de discussão de exercícios e prova P2. 

11/11

tensores: construção, interpretação como funtor de Mod A x A Mod em Mod k, funtores associados Mod A--> Mod k e A Mod --> Mod k, base do tensor de k-módulos livres, associatividade, tensor de bimódulos é bimódulo, exemplos, comutação com soma direta, produto tensorial de algebras 

18/11

propriedades funtoriais de equivalências k-lineares entre categorias de módulos.  Propriedades de módulos geradores de Mod A.  Lema: se A e B são Morita equivalentes então a álgebra B é isomorfa  à álgebra End_A(P) em que P é um A-módulo progerador, isto é, projetivo finitamente gerado e gerador de Mod A. 

20/11

feriado. 

25/11

Teoria de Morita. Introdução à álgebra homológica: categoria dos complexos, funtores de homologia, sequência exata longa.

27/11

Teorema da comparação, funtores derivados, sequência exata longa para funtores derivados. 

29/11 (reposição)

Funtores Ext^n. 

2/12 

cancelada - vestibular. 

4/12 

Funtor Ext^1 e extensões de módulos: definição do conjunto E(M,N) de classes de equivalências de extensões de M por N,  bijeção entre Ext^1_A (M,N) e E(M,N), exemplos. 

9/12

Aula de exercícios, revisão 

11/12 

P3