MAA6a

Jos sijoittamisessa on ongelmia ("0/0" nollalla ei saa jakaa), lauseketta pitää ensin supistaa. Aina raja-arvoa ei silti ole olemassa ("3/0" lähestyy ääretöntä).

Kun lukua a lähestytään lukusuoralla vasemmalta (a-) tai oikealta (a+) puolen, puhutaan toispuoleisista raja-arvoista. Jotta raja-arvo olisi olemassa, näistä pitää tulla sama tulos. Tähän tilanteeseen voi törmätä paloittain määritellyissä funktioissa.

Jatkuvuus

Funktio on jatkuva kohdassa x = a, jos pätee

eli lyhyemmin

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva kaikkialla siellä, missä se on olemassa(*).

Funktio

Funktion pitää olla yksikäsitteinen, mikä tarkoittaa sitä, että samalla x:n arvolla ei saa tulla monta eri tulosta (eli y:n arvoa). Siten esimerkiksi ympyrän yhtälö ei ole funktio, mutta ylös aukeavan paraabelin yhtälö on .

(*)Jos funktio ei ole määritelty jossakin kohdassa, silloin funktio ei ole siinä kohdassa sen enempää jatkuva tai epäjatkuvakaan. Funktiota ei voisi vähempää kiinnostaa, mitä ko. kohdassa tapahtuu.

1. Tehtävät

Vastaukset

Raja-arvo ja jatkuvuus

2. Derivaatta

Ongelma: Tangentilta tunnetaan vain yksi piste.

Ratkaisu: Otetaan toinen piste funktiosta eikä tangentista ja laitetaan se lähestymään tunnettua pistettä.

www.geogebra.org/classic/DsAN9l8W

Derivaatta on tämän "erotusosamäärän" raja-arvo.

Funktion f(x) derivaattaa merkitään f'(x)

Jos funktio ei ole jatkuva jossakin pisteessä, se ei voi olla siinä myöskään derivoituva.

2. Tehtävät

Vastaukset

Derivaatta

3. Derivoimiskaavat

3.1 Polynomifunktio

"Eksponentti menee eteen ja pienenee yhdellä"

Pelkkä luku ilman äksää "katoaa" derivoidessa eli sen derivaatta on nolla.
Jos x:n potenssi on ykkönen, x "katoaa" ja vain sen kerroin jää.
Derivointia merkitään isolla D-kirjaimella eli
D f(x) = f'(x).

Esimerkkejä

D x⁵ = 5x⁴ D 2x⁴ = 8x³

D x² = 2x D 3x² = 6x

D 6x = 6 D -x = -1

D 5 = 0 D -2 = 0

D (3x⁶ + 5x³ - 2x + 8) = 18x⁵ + 15x² - 2

3.2 Tulon ja osamäärän derivointi

Kaavat

Esimerkkejä

3.3.1 Yhdistetty funktio

Yhdistetty funktio on hieman tavallista monimutkaisempi funktio, joka voidaan tulkita kahtena tai useampana erillisenä funktiona. Tämän voi ajatella myös niin, että jonkin funktion sisään, x:n paikalle, on sijoitettu jokin toinen funktio.

Yhdistettyä funktiota voidaan merkitä pallolla (luetaan "f pallo g").

Esimerkki 1

Esimerkki 2

3.3.2 Yhdistetyn funktion derivointi

Ulkofunktion derivaatta kertaa sisäfunktion derivaatta

Huomaa, että ulkofunktiota derivoidessa sisäfunktio EI muutu.

Esimerkkejä

3.4 Murtofunktion derivointi

I Jakolaskun derivoimiskaava

II Negatiivinen eksponentti

III Hyödynnä murtolukuja

IV Pilkkominen osiin

V Aina kannattaa myös katsoa, voiko lausekkeen supistaa ennen derivoimista.

3. Tehtävät

Vastaukset

Derivoimiskaavat

4. Ääriarvot ja kulkukaavio

4.1 Derivaatan nollakohta

Derivaatan nollakohdassa sijaitsee (yleensä) funktion ääriarvo ("huippu"). Ääriarvo voi olla tyypiltään minimi (min) tai maksimi (max).

Jos derivaatan merkki ei vaihdu sen nollakohdassa, kyseessä ei ole ääriarvo vaan ns. terassikohta.

Derivaatan nollakohta saadaan ratkaisemalla yhtälö f'(x) = 0.

Yhtälön ratkaisu kertoo ääriarvokohdan eli (mahdollisen) huippupisteen x-koordinaatin. Kun haluat myös y-koordinaatin, sijoita tämä x:n arvo alkuperäiseen funktioon (ei derivaattaan).

Jos funktio on määritelty suljetulla välillä, sillä on ääriarvo myös välin päätepisteissä.

- Avoimella välillä funktion arvo voi lähestyä +/- ääretöntä tai sillä voi olla siinä raja-arvo, mutta ääriarvoa sillä EI ole.

Esimerkki

f(x) = x² - 6x + 1

f'(x) = 2x - 6

2x - 6 = 0

x = 3

Lasketaan y-koordinaatti:

f(3)= 3² - 6*3 + 1 = -8

Huippupiste on (3, -8)

Miten derivaatan nollakohta lasketaan, riippuu derivaatasta. Esimerkiksi tutkittaessa 3. asteen funktioita, derivaatta on toisen asteen funktio, joten pitää ratkaista toisen asteen yhtälö.

Esimerkki 1

Määritä paraabelin huippupiste.

Esimerkki 2

Määritä kolmannen asteen funktion ääriarvokohdat.

Esimerkki 3

Määritä kolmannen asteen funktion ääriarvokohdat.

4.2 Kulkukaavio

Tutkitaan milloin derivaatta on

positiivinen (funktio on kasvava)
negatiivinen (funktio on laskeva)
tasan nolla (minimi, maksimi tai terassi)

Derivaatan nollakohdat lasketaan yhtälöllä f'(x) = 0. Derivaatan positiivisuus ja negatiivisuus nollakohtien ympärillä voidaan kokeilla millä vaan luvuilla.

Derivaatan avulla selvitetään, miltä funktio näyttää, erityisesti missä on sen mahdolliset ääriarvot (derivaatan nollakohdat) ja milloin funktio on kasvava ja milloin vähenevä.

Kulkukaavioon merkitään pystyviivoilla derivaatan nollakohdat (ja mahdolliset määrittelyehdot).

Miltä potenssi- eli polynomifunktiot näyttää

sites.google.com/view/manfun/funktio#h.p_JXZGKLMYvyOf

Esimerkki

Kulkukaavio editorilla

Kätevä tapa tehdä kulkukaavio tietokoneella on käyttää editoria (vaikka kyllä sen SAA tehdä vaikka piirto-ohjelmalla). Sen sijaan, että yrität laittaa derivaatan nollakohdat tarkalleen pystyviivojen yläpuolelle, varaa niille kokonainen oma sarake ja merkitse siihen samalla onko kyseessä minimi, maksimi vai terassi.

Lisää rivejä saa enterillä ja sarakkeita sisennys-napilla.

4. Tehtävät

Vastaukset

Ääriarvot

5. Tangentin yhtälö

Derivaatta on käyrälle piirretyn

tangentin kulmakerroin.

y - y0 = k(x - x0)

y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)

f(x) = 2x² - 12x + 3

f'(x) = 4x - 12

Kulmakerroin kohdassa x = 5 on

f'(5) = 4*5 - 12 = 8

Esimerkki

Määritä paraabelille kohtaan x = 1 piirretyn tangentin yhtälö.

NSPIRE

Tangentin yhtälö saadaan myös suoraan laskimesta:

5. Tehtävät

Vastaukset

Tangentin yhtälö

6. Sovelluksia

6.1 Funktion muodostaminen

f(x) = Mitä halutaan?

Tehtävät ovat optimointitehtäviä eli niissä haetaan jotakin mahdollisimman hyvää tulosta. Käytännössä siis jotakin halutaan mahdollisimman paljon tai mahdollisimman vähän.

Tavoiteltavasta asiasta tehdään funktio, jonka minimi tai maksimi sitten määritetään.

Mitä tiedetään?

Funktiota muodostettaessa on yleensä ongelmana se, että siellä on liikaa muuttujia (kirjaimia) tai että funktiossa ei huomioida tehtävän rajoituksia. Funktion tekeminen vaatii siten erilaisten tiedonmurusten käyttämistä ja hoksaamista.

Mitä kysytään?

Se, mitä tehtävässä lopulta kysytään, ei ole aluksi kovinkaan tärkeä asia. Tärkeämpää on keskittyä siihen, mitä halutaan optimoida.

Kun optimointi on saatu tehtyä eli funktion minimi tai maksimi on löydetty, lopuksi vastataan siihen mitä kysyttiin.

6.2 Funktion rajoitukset

Annettu rajoite

2x + y = 200

f(x) = A = xy

Geometrinen rajoite

f(x) = A

f(x) = V

Jokin muu

-0,10 € +20 kpl

f(x) = €€€

NSPIRE fMin() ja fMax()

Toiminto antaa sen kohdan eli x-koordinaatin, missä funktion arvon eli y-koordinaatin minimi tai maksimi sijaitsee.

Minimin ja maksimin voi varmistaa kuvasta (Analysoi kuvaaja), mutta laske ne silti aina algebrallisesti.

NSPIRE graafisesti

Rajausta voi käyttää myös funktiota piirtäessä.

GEOGEBRA

Geogebra ei kerro reunoissa olevia ääriarvoja.

I will derive

6. Tehtävät

Vastaukset

Funktiosovelluksia

7. Muut funktiotyypit

7.1 Trigonometrinen funktio

Sinin derivaatta on cosini ja
cosinin derivaatta on miinus sini

Sinin/cosinin perässä oleva lauseke EI MUUTU, mutta on sisäfunktio.

Esimerkkejä

D sin(x) = cos(x)

D cos(x) = -sin(x)

D 4sin(x) = 4cos(x)

D -cos(x) = sin(x)

D sin(5x) = 5cos(5x)

7.2 Logaritmifunktio

Logaritmin perässä oleva lauseke menee NIMITTÄJÄÄN.

Logaritmin perässä oleva lauseke EI MUUTU, mutta on sisäfunktio.

Neperin luku (e)

Logaritmilla on aina jokin kantaluku. Jos kantaluku on 10, se voidaan jättää merkitsemättä (lyhenne log). Toinen yleinen lyhenne on ln, jonka kantaluku on Neperin luku (e), joka on noin 2,72.

ln(x) = loge(x)

Esimerkkejä