Embedded Files
Funktioista kannattaa useimmiten piirtää kuvaaja, mutta muista olla varovainen, jos perustelet asioita kuvaajan avulla.
1. Yleisiä ominaisuuksia
1. Yleisiä ominaisuuksia
Funktio on sääntö, jolla luvusta/muuttujasta (x) lasketaan toinen luku/funktion arvo (y).
Funktio on sääntö, jolla luvusta/muuttujasta (x) lasketaan toinen luku/funktion arvo (y).
Säännön on oltava yksikäsitteinen, eli tuloksen on aina oltava sama ja yhdestä muuttujan arvosta ei saa tulla enempää kuin yksi funktion arvo.
Jos sääntö tuottaa useita eri arvoja, kyseessä ei ole funktio, vaan käyrä. Kaikki funktiot ovat myös käyriä, mutta kaikki käyrät eivät ole funktioita.
Funktiolla voi olla määrittelyjoukko, jolloin kaikki muuttujan arvot eivät funktioon kelpaa.
Erityisesti nollalla ei saa jakaa, neliöjuuressa pitää olla vähintään nolla ja logaritmissa yli nolla.
Määrittelyjoukko voi olla myös keinotekoinen, päätetään/määrätään esimerkiksi että funktioon saa sijoittaa vain kokonaislukuja.
Määrittelyjoukkoa ja Arvojoukkoa voidaan merkitä eri tavoin, mutta idea on f:Mj→Aj
Funktio voidaan määritellä osissa/paloittain, jolloin funktion lauseke voi olla erilainen eri muuttujan arvoilla.
Funktiolla on yleensä nimi, jonka jälkeen on maininta siitä, millä kirjaimella merkitään muuttujaa.
Jos nimi on f ja muuttuja x, merkintä on muotoa
f(x) = 2x - 7. (Nspire :=)Joskus nimi korvataan kirjaimella y eli tällöin funktio on y = 2x - 7.
Käytettäessä y:tä, termejä voidaan siirrellä eri puolille yhtälöä,
esim. 2x - 3y + 1 = 0, mutta yleensä on parempi pitää y yksin yhtälön vasemmalla puolen.
5. Funktion nollakohta tarkoittaa sitä muuttujan (x) arvoa, jolla funktion arvo (y) on nolla.
Funktion f(x) = 2x - 8 nollakohta on x = 4, koska f(4) = 0. Nollakohta saadaan selville ratkaisemalla yhtälö 2x - 8 = 0.
6. Funktio on aidosti kasvava, jos f(x) > f(y) aina kun x > y ja kasvava, jos f(x) >= f(y), kun x > y.
Kasvavuutta, vähenevyyttä ja funktion huippuja tutkitaan yleensä derivaatan avulla.
Monotoninen tarkoittaa, että funktio on kaikkialla joko kasvava tai vähenevä, mutta suunta EI saa vaihtua.
7. Funktio voidaan määritellä paloittain, jolloin joillakin x:n arvoilla funktion lauseke on jotakin ja joillakin toisilla x:n arvoilla jotakin muuta.
Punainen EI OLE funktio.
samalla x:n arvolla tulee kaksi eri tulosta
Sininen on monotoninen, KASVAVA funktio.
sen derivaatta on aina positiivinen (tai nolla)
Vihreällä on kaksi NOLLAKOHTAA, x = 2 ja x = 4.
funktion huippukohta on x = 3 ja se löytyisi laskemalla derivaattafunktion nollakohta
- Tehtävät
2. Potenssifunktio (polynomifunktio)
2. Potenssifunktio (polynomifunktio)
Ensimmäisen asteen potenssifunktio on suora (lineaarinen funktio).
Riippuen kulmakertoimesta, suora voi olla nouseva, laskeva tai vaakasuora
poikkeus: pystysuora suora EI ole funktio eikä sillä ole kulmakerrointa
Toisen asteen potenssifunktio on paraabeli, joka aukeaa joko ylös tai alas.
Korkeamman asteen potenssifunktiot ovat näiden muunnelmia.
Potenssin pitää olla positiivinen kokonaisluku.
Pariton
Pariton
menee joko alhaalta ylös (+) tai ylhäältä alas (-)
suurin potenssi määrää suunnan
1 - n kpl nollakohtia, missä n on asteluku.
Parillinen
Parillinen
aukeaa joko ylös (+) tai alas (-)
suurin potenssi määrää suunnan
0 - n kpl nollakohtia, missä n on asteluku.
2. Tehtävät
2. Tehtävät
3. Trigonometrinen funktio
3. Trigonometrinen funktio
Trigonometriselle funktiolle erityisiä ominaisuuksia on
amplitudi (aallon korkeus, vakio a)
aallonpituus (jakson pituus, vakio b)
Funktion f(x) = sin(x) arvojoukko on [-1, 1]. Sitä voi muuttaa vakioilla a ja d.
Vakioiden c ja d vaikutus on sama kaikilla muillakin funktiotyypeillä.
3. Tehtävät
3. Tehtävät
4. Eksponentti-, logaritmi- ja juurifunktio
4. Eksponentti-, logaritmi- ja juurifunktio
Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktio
f(x) = a^x
f(x) = a^x
Funktion arvot joko kasvavat tai pienenevät hyvin nopeasti riippuen siitä, onko kantaluku a > 1.
Funktion arvot ovat aina positiivisia.
f(0) = 1
Logaritmifunktio
Logaritmifunktio
Ln(x) ja Log(x)
Ln(x) ja Log(x)
Funktion arvot kasvavat hyvin hitaasti.
Määrittelyjoukon takia x > 0.
f(1) = 0
Juurifunktio
Juurifunktio
Neliöjuuri
Neliöjuuri
Funktion arvot kasvavat hitaasti.
Määrittelyjoukon takia x ei voi olla negatiivinen ja myöskään funktion arvo (y) ei ole ikinä negatiivinen.
f(0) = 0
4. Tehtävät
4. Tehtävät
5. Murtofunktio
5. Murtofunktio
Murtofunktioiden käyttäytyminen on monimutkaista ja menee osin lukiokurssien yli. Tyypillistä on, että niillä on asymptootteja, eli rajoja, joita ne lähestyvät, mutta eivät ikinä kohtaa. Yksi asymptootti tulee yleensä nimittäjän nollakohdasta (alla punaiset viivat).
Asymptootit
Asymptootit
Asymptootit
Asymptootit
5. Tehtävät
5. Tehtävät
6. Itseisarvo, paloittain määritelty funktio ja funktion jatkuvuus
6. Itseisarvo, paloittain määritelty funktio ja funktion jatkuvuus
Itseisarvo "peilaa" x-akselin alapuolelle jäävän osan x-akselin yläpuolelle.
Funktio voidaan määritellä paloittain niin, että eri x:n arvoja vastaa eri sääntö/lauseke
Muista kuitenkin funktion yksikäsitteisyys, eli samalla x:n arvolla ei saa tulla useaa eri tulosta
Yleisesti kaikki "yksiriviset" funktiot ovat jatkuvia, mutta paloittain määritellyt eivät "liitoskohdassaan" välttämättä ole.
Funktio on jatkuva kohdassa x = a, jos f(a) on sama kuin funktion raja-arvo kun x->a. Paloittain määritellyssä funktiossa pitää yleensä tutkia erikseen toispuoleisia raja-arvoja eli x->a+ ja x->a-.
Jatkuva
Jatkuva
Esimerkiksi funktio f(x) = 1/x ON jatkuva, vaikka "viiva katkeaakin" kohdassa x = 0 . Mutta funktio on jatkuva, jos se on jatkuva kaikkialla siellä, missä se on olemassa.
Epäjatkuva
Epäjatkuva
Kaikki alkeisfunktiot ovat jatkuvia. Ongelma on ne liitoskohdat.
6. Tehtävät
6. Tehtävät
Google Sites
Report abuse