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いろいろな曲の音高を数量化してスペクトル密度を調べると、ほぼ、周波数 f [Hz] の逆数または（等価的に）角周波数ω[rad/s] の逆数に比例する双曲線の形をなすことが知られています。逆に、0 以上 1 以下の実数値をとる一様乱数 Un （n = 1, 2, …）を逐次に生成してガウス過程 Wn に加工したのち、二階差分方程式を利用して乱数列 Xn を生成し音高の列に変換すると、ある種の曲に聞こえます。これは、いわゆる f 分の 1 音楽と呼ばれるものです。パラメーターを適切に設定する（図 1 の緑色部分）ことにより、乱数列のスペクトル密度（図 2 および図 3 の赤色部分）は双曲線（青色部分）に近い形状になります。動画の最初の 30 秒間に流れる音楽が、確率音楽のサンプルです。
It is well known that the power spectral density of quantified pitches in a music, generally speaking, forms a hyperbola that is inversely proportional to the frequency f[Hz] or equivalently the angular frequency ω[rad/s]. Conversely, if we generate a sequence of uniform random numbers Un (n = 1, 2, ...) within [0, 1]; transform the U-sequence into a Gaussian process Wn; generate Xn by applying a second-order difference equation to the W-sequence; encode the X-sequence into another sequence of pitches, then the result sounds like a melody. By adjusting the parameters (cf. the green part in Fig. 1), the power spectral density of X-sequence (cf. the red parts in Fig. 2 and Fig. 3) becomes close to a hyperbola (cf. the blue parts). Listen to the music during the first 30 seconds of movie for a sample of stochastic music.
図 1: 乱数列を生成する差分方程式
Fig. 1: Difference equation generating a sequence of random numbers
図 2: 乱数列のスペクトル密度の計算式
Fig. 2: Spectral density of the random numbers
図 3: 音高のスペクトル密度の形状
Fig. 3: Spectral density of pitches in a 1/f musicGoogle Sites
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