AN430 Metodo Elementi Finiti

Insegnamento Metodo degli Elementi Finiti

Materiale Didattico a.a. 2021~2022

Orario (aula A, Via Vasca Navale 84, e Lab Calcolo, nuovo blocco aule, sede Torri)

lunedì: 14-16 Laboratorio Didattico

martedì: 10-12 aula A

venerdi: 12-14 aula A

Obiettivo dell'insegnamento

L'obiettivo dell’insegnamento è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, della meccanica dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.

L'insegnamento tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

Riferimenti bibliografici

Understanding and Implementing the Finite Elements Method, Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006

Cap. 1 Some model PDE’s

Cap. 2 The weak form of a BVP

Cap. 3 The Galerkin method

Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2)

Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Computational Science and Engineering, Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007

Cap 3.1, page 236~241;

Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567

When functions have no value(s): Delta functions and distributions, Steven G. Johnson,

MIT course 18.303 notes, 2011

Dispense a cura del docente

The Integral Form at Glance

COMSOL

C01_Rod1D_traction. Esempio prototipo di problema ellittico. Introduzione alla forma integrale e al formato standard dei problemi di bilancio.

C02_Heat_Equation. Esempio di problema parabolico. Introduzione ai problemi non stazionari; nozione di flusso, legame costitutivo anisotropo. Dissipazione. Nozione di compatibilità delle sorgenti. Nozione di vincolo in forma integrale (weak constraint).

C02b_Heat_Equation_boundarysource. Esempio di problema parabolico senza condizioni al bordo. Nozione di compatibilità delle sorgenti. Vincolo puntuale.

C03_Heat_Equation_Conductive_line. Primo esempio di accoppiamento multi-fisico; gerarchia delle strutture geometriche; associazione di un modello fisico ad un dominio

C04a_Heat_2D_Sphere. Primo esempio di dominio senza bordo: la sfera. Scompare la condizione al bordo; domino curvo: definizione delle derivate tangenti.

C04b_Heat_2D_Torus. Secondo esempio di dominio senza bordo: il toro.

C05_Laplacian_2D_Ellipsoid_Curvature. Terzo esempio di dominio senza bordo: l'ellissoide. La relazione costitutiva è definita in funzione delle curvature principali della superficie. Problema stazionario con relazione costitutiva tangente; problema agli autovalori.

C06a_Wave_1D. Introduzione ai problemi non stazionari iperbolici. Conservazione energia e propagazione di onde elastiche

C06b_Wave_1D_InitialPulse. Equazione delle onde e risposta all'impulso.

C06c_Wave_2D. Propagazione di onde in 2D. Mezzo anisotropo.

C07_L2_Norm. Studio della convergenza per un problema parabolico. Effetto delle funzioni di forma e della taglia del reticolo

C08_Iterative_Solver. Gestione degli algoritmi di soluzione dei sistemi lineari; solutori iterativi e tecniche di pre-condizionamento.

C09a_Convection_Diffusion_1D. Problema dell'interazione diffusione & convenzione; instabilità delle soluzioni e metodi stabilizzanti

C09b_Convection_Diffusion_2D. Problema dell'interazione diffusione & convenzione; raffinamento automatico della griglia di calcolo

C10_Stabilization. Problema oscillazioni per problemi diffusione & convenzione; tecniche di stabilizzazione.

C11_Elastic_Solid. Problema ellittico 3D per un campo vettoriale: la meccanica dei solidi e le distorsioni.

C12_Nonlinear_Elastic_Solid. La meccanica dei solidi non lineare e le grandi distorsioni. Soluzione con tecniche di continuazione.

C13_Segregated_Solver. Problemi con accoppiamento unidirezionale e solutori segregati.

C14_Cylinder_Flow. Problema parabolico 2D per un campo vettoriale: la meccanica dei fluidi.

C15_Navier_Stokes_L_Junction _2D. Esempio di meccanica dei fluidi.

C16_Buoyancy_Free. Modello di trasporto con accoppiamento multi-fisico : calore trasportato da un fluido & fluido mosso da gradienti termici.

C17_Nematic_Liquid_Crystal. Esempio di problema con variabile di stato definita su una varietà curva. Accoppiamento campo nematico & campo elettrico

Mathematica

M01_Test_Function. Mathematica Notebook per lo studio delle funzioni di saggio

M07_Convection_diffusion. Mathematica Notebook per lo studio delle oscillazioni nel problema diffusione + convezione

1. set 28 Presentazione insegnamento

2. ott 4 Modello "zero" con COMSOL: il laplaciano in forma debole C00.mph

3. ott 5 Funzioni di saggio e distribuzioni; esercitazione Mathematica test function

4. ott 8 Legge di bilancio integrale e differenziale; nozione di flusso

5. ott 11 Leibniz e teorema divergenza: cap. 3, 4, delle note Integral Form at Glance

6. ott 12 Metodo di Galerkin e teorema della proiezione: cap. 5, 6, 7 delle note Integral Form at Glance.

7. ott 26 Model problem 1D: Minimo energia potenziale totale (IFG).

8. ott 29 Model problem 1D: explicit solution VS FEM solution (Strang CSE, chapter 3.1).

9. nov 2 Model problem 1D: implementation in COMSOL; uniform load, point load (delta function),

boundary traction (Neumann bc), elastic boundary (Robin bc). C01.mph

10. nov 5 Heat equation: balance equation: density-wise; point-wise; global. Implementation in COMSOL; steady solution; anisotropic response.

11 nov 8 prima parte : Heat equation: weak constraint & Lagrange multiplier; Implementation in COMSOL;

12. nov 8 seconda parte: Time evolutive analysis; power & work. C02.mph & C02b.mph

13. nov 9 Heat equation 1D: separation of variables; fast decay for short wavelengths (IGF)

14. nov 12 Conductive line: coupling 2D & 1D heat equation; COMSOL implementation; C03.mph

15. nov 15 2D Heat equation on a sphere: tangent derivatives; change of coordinates from curvilinear to Cartesian;

COMSOL implementation; C04a.mph.

16. nov 16 2D Heat equation on a torus and an ellipsoid: probing geometric features (principal curvature; tangent vectors);

non isotropic response; eigenvalue analysis. Models C04b.mph, C05.mph

17. nov 19 Synopsis of classical equations of mathematical physics; Wave equation

18. nov 22 Wave equation with damping. 1D wave equation; separation of variables.

COMSOL implementation of 1D wave equation; C06a.mph, C06b.mph

19. nov 23 Wave equation with damping. Total energy, kinetic & elastic energy, dissipation.

traveling waves VS standing waves. C06b.mph

20. nov 26 2D Wave equation with damping. Isotropic versus anisotropic medium. C06c.mph

21. nov 29 2D Wave equation: mesh refinement. Norms of the error; model problem C07.mph

22. nov 30 Norms of the error versus mesh size & order of shape functions; model problem C07.mph

23. dic 3 Linear VS non linear problems. Strong & weak coupling. Segregated solver strategy.

24. dic 6 Iterative Solvers; Jacobi method.

25. dic 10 Example of iterative solvers: C08.mph. Convection-diffusion

26. dic 13 Convection - diffusion: 1D e 2D examples, C09a.mph, C09b.mph

27. dic 14 Stabilization C10.mph

28. dic 17 Linear Elastic solid; Elastic solid C11.mph

29. dic 21 Linear Elastic solid; compressible VS incompressible materials; pressure and Lagrange multiplier

30. gen 13 Nonlinear elastic solid; pull back

31. gen 14 Pull back of stress; Navier Stokes equations