Означення функції, яким ми користуємось на даному етапі вивчення математики, з’явилося порівняно недавно – у першій половині XIX ст. Воно формувалося більш 200 років під впливом бурхливих суперечок видатних математиків кількох поколінь. Дослідженням функціональних залежностей між величинами почали займатися ще стародавні вчені. Прикладами табличного задання функцій можуть слугувати астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і арабів.
Проте лише в першій половині XVII ст. своїм відкриттям методу координат видатні французькі математики П. Ферма і Р. Декарт заклали основи для виникнення поняття функції. Значну роль у формуванні цього поняття відіграли роботи великого англійського вченого Ісаака Ньютона. Під функцією він розумів величину, яка змінює своє значення з плином часу.
Георг Лейбніц і його учень швейцарський математик Йоганн Бернуллі під функцією розуміли формулу, яка пов’язую одну змінну з іншою, тобто вони ототожнювали функцію з одним із способів її задання. Подальшому розвиткові поняття функції багато в чому сприяло з’ясування істини в багаторічному спорі видатних математиків Леонарда Ейлера і Жана Лерона Д’Аламбера. У результаті було сформовано більш загальний погляд на функцію як залежність однієї змінної величини від іншої, у якому це поняття жорстко не пов’язувалося зі способом задання функції.
У 30 -х роках XIX ст. ідеї Ейлера набули подальшого розвитку в роботах видатних учених: російського математика Миколи Лобачевського і німецького математика Петера Діріхле. Саме тоді з’явилося таке означення: змінну величину у називають функцією змінної величини х, якщо кожному значенню величини х відповідає єдине значення величини у. Коли на межі XIX і XX століть виникла теорія множин і стало зрозумілим, що елементами області визначення і області значень зовсім не обов’зково мають бути числа, то під функцією стали розуміти правило, яке кожному елементу множини Х ставить у відповідність єдиний елемент множини Y.