Scattering elettromagnetico diretto e inverso da oggetti sepolti

Quando onde elettromagnetiche (o acustiche, o elastiche) incidono su un oggetto, il cosiddetto campo diffuso o "scatterato" e' originato a causa dell'interazione fra il campo incidente e l'oggetto stesso. Le caratteristiche di tale campo scatterato ovviamente sono dipendenti dal campo incidente e dall'oggetto scatterante, cioe' dai parametri geometrici dello scatteratore, come la sua posizione e forma, e dalla sua composizione materiale.

INQUADRAMENTO E STATO DELL'ARTE

In questo contesto, due diverse classi di problemi si possono identificare, che sono denominate nella letteratura come problemi di scattering diretto [1] e inverso [2]. I problemi diretti sono quelli in cui il campo scatterato deve essere determinato noti il campo incidente e la natura dello scatteratore e del mezzo che lo ospita. Si tratta di un settore consolidato dell'elettromagnetismo, la cui importanza applicativa fa comunque sì che l'attività di ricerca ad esso connessa sia sempre molto intensa, sia per quanto riguarda gli aspetti teorici che per lo studio di metodi asintotici approssimati e, in particolar modo, di tecniche numeriche efficienti. Il problema dello scattering inverso è invece stato affrontato in tempi più recenti e consiste nel determinare le caratteristiche dello scatteratore, a partire dalla conoscenza del campo incidente, e del campo diffuso in pratica attraverso misure. In tal caso, si può essere interessati a ricostruire solo alcune proprietà dell'oggetto: in particolare, si può voler stabilire semplicemente se esso è presente o no (rivelazione), se ne può individuare la distanza dall'osservatore nonché la velocità di avvicinamento o allontanamento (nel caso del radar), se ne può cercare la forma oppure certe caratteristiche topologiche, come la connessione semplice o multipla. Se l'oggetto è penetrabile, si può determinare di quale materiale, eventualmente non omogeneo, esso sia costituito (ad esempio nella tomografia medica); se invece l'oggetto è non penetrabile, si può cercare di determinare quali condizioni al contorno valgano sulla sua superficie, e così via. In ogni caso, sono in genere disponibili informazioni a priori sullo scatteratore che, ovviamente, ne semplificano la ricostruzione.

E' chiaro che tali problemi sorgono in un vasto campo di discipline in cui si desidera ispezionare senza distruggere l'oggetto sotto test. Tali importanti aree sono ad esempio il telerilevamento [3], l' "imaging" medico [4,5], le indagini non distruttive dei materiali [6] e la prospezione geofisica subsuperficiale [7]. In particolare, l'esecuzione di indagini non distruttive, note in letteratura con il nome di "Non Destructive Testing" (NDT), si pone come elemento base in molte applicazioni, come ad esempio quella archeologica [8], dell'ingegneria civile, della salvaguardia dei beni monumentali e della ricerca di sottoservizi, solo per citarne alcune di uso più comune. Non meno importanti sono le attività che riguardano il rilevamento di ordigni inesplosi e il cosiddetto "sminamento umanitario" [9], le analisi ambientali, il rilevamento di agenti inquinanti [10] e di rifiuti. Nelle applicazioni citate, l'obiettivo comune da raggiungere è quello di ottenere immagini di zone non visibili direttamente, senza dover operare scavi nell'intera area indagata, limitando in tal modo i costi ed eliminando altresì la probabilità di danneggiare gli oggetti da rilevare [11-13]. Uno dei metodi più adatti a tal fine è quello basato sul cosiddetto Georadar (o "Ground Penetrating Radar", GPR). Una difficoltà nell'impiego del Georadar è usualmente rappresentata dalla non immediata interpretabilità dei dati. Un approccio che riesce a migliorare l'intellegibilità dei dati - fornendo spesso immagini di interpretazione più semplice e più oggettive che non quelle derivate dai cosiddetti "dati grezzi", ovvero dai dati senza alcun tipo di elaborazione - è il cosiddetto "approccio tomografico", che permette spesso, attraverso la soluzione di un problema di scattering inverso, una migliore identificazione dell'estensione geometrica e della forma degli oggetti sepolti (in teoria anche delle caratteristiche elettromagnetiche di questi ultimi, sebbene questo specifico risultato non sia realmente ottenibile sul piano pratico se non in condizioni favorevolissime).

I problemi di scattering diretto e inverso possono essere considerati come due viste da diverse prospettive dello stesso fenomeno fisico. Tuttavia i problemi di scattering inverso, in generale, sono molto piu' difficili da risolvere di quelli diretti dal punto di vista matematico, in quanto malposti e non lineari [14]. Si consideri la difficolta' di dover trattare con dati inevitabilmente contaminati dal rumore. La malposizione comporta che la soluzione non dipende con continuita' dai dati: di conseguenza un piccolo errore sui dati (in questo caso il campo scatterato) puo' comportare un errore grande nella soluzione, in altre parole cio' conduce a una procedura di inversione non stabile. Per ovviare a questo inconveniente, sono state proposte in letteratura procedure cosiddette di "regolarizzazione" [15], le quali tuttavia costituiscono un compromesso fra la stabilita' della soluzione e la sua accuratezza. Per quanto riguarda la non linearita', che e' la rappresentazione matematica del fenomeno di scattering mutuo, si e' fatto ricorso in letteratura a tecniche di ottimizzazione, che comportano pero' sempre il rischio di pervenire a minimi locali o "false soluzioni" [16], oppure si e' sostanzialmente trascurato lo scattering mutuo pervenendo a una linearizzazione approssimata del problema [17].

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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5. A. Joisel et al., Microwave imaging techniques for biomedical applications, Proc. IMTC, 1999, pp. 1591-1596.
6. D. J. Daniels, Ground Penetrating Radar, 2nd Ed., IEE, 2004.
7. R. Marklein et al., "Recent applications and advances of numerical modeling and wavefield inversion in nondestructive testing", Adv. in Radio Sci., 3, 2005, pp.
8. D. Goodman, "Ground-penetrating Radar Simulation in Engineering and Archaeology", Geophysic, vol. 59, 1994, pp. 224-232.
9. C. Bruschini, B. Gros, F. Guerne, P.Y. Pièce, O. Caramona, "Ground Penetrating Radar and Imaging Metal Detector for Antipersonnel Mine Detection", Journal of Applied Geophisics, n. 40, 1998.
10. A. Brancaccio, G. Leone, F. Soldovieri, R. Pierri, "Misure ed algoritmi per la diagnostica elettromagnetica strutturale di murature", Istituto per il Rilevamento Elettromagnetico dell'Ambiente (IREA-CNR).
11. K. Mayer, A. Zimmer, K.J. Langenberg, C.Kohl, C. Maierhofer, "Non-destructive evaluation of embedded structures in concrete: modelling and imaging" in Proc. of the Int. Symp. on Non-Destructive Testing in Civil Engineering, 2003.
12. R.E. Kleinman, P.M. van den Berg, "Two-dimensional location and shape reconstruction," Radio Sci., vol. 29, n. 4, pp. 1157-1169, 1994.
13. T. Lasri, D. Glay, A. Mamouni, Y. Leroy, "Non-destructive testing of materials by microwave systems," Electronic Letters, 34, pp. 470-471, 1998.
14. M. Bertero, "Linear inverse and ill posed problems", in Advances in Electronics and Electronic Physics, pp. 1-120, Academic Press, London, 1989.
15. U. Tautenhahn, "On a general regularization scheme for nonlinear ill-posed problems", Inverse Problems, 5, 1997, pp. 1427-1437.
16. W.C. Chew, Y.M. Wang, "Reconstruction of two-dimensional permittivity using the distorted Born iterative method", IEEE Trans. Medical Imaging, 2, 1990, pp. 218-225.
17. R.J. Wombell, M.A. Fiddy, "Inverse scattering within the distorted-wave Born approximation", Inverse Problems, 3, 1988, pp. 23-27.

SINTESI DEL PROGRAMMA DI RICERCA

Il gruppo di ricerca interuniversitario Sapienza-Roma Tre svolge ormai da diversi anni ricerche riguardo lo scattering da strutture cilindriche in presenza di interfacce piane. Tali ricerche, tuttavia, sono state per la prima volta oggetto di richieste di finanziamento lo scorso anno con il presente programma. Recentemente, i risultati più originali e interessanti conseguiti sono stati quelli relativi allo sviluppo di un nuovo metodo analitico-numerico, nel dominio spettrale, per la soluzione rigorosa del problema diretto di scattering di un'onda piana monocromatica da parte di un numero arbitrario, finito, di oggetti dielettrici o perfettamente conduttori, di sezione arbitraria, sepolti in un semispazio dielettrico supposto privo di perdite. Il metodo permette di trattare qualsiasi stato di polarizzazione dei campi elettromagnetici coinvolti. Si possono ottenere risultati in zona di campo vicino e in campo lontano. Il procedimento e' stato implementato numericamente nel linguaggio Fortran, realizzando codici versatili ed efficienti riguardo i tempi di calcolo e l'accuratezza dei risultati. In una fase iniziale era stato considerato il problema bidimensionale dello scattering da un unico cilindro sepolto, a sezione circolare e perfettamente conduttore. Il metodo e i relativi risultati numerici sono stati pubblicati in [1]. Successivamente la tecnica e' stata generalizzata al caso di un numero arbitrario di oggetti diffusori, ancora a sezione circolare e perfettamente conduttori. Diffusori di arbitraria sezione trasversa possono essere simulati affiancando in modo opportuno strutture a sezione circolare. E' stato infine trattato il problema di diffrazione da cilindri circolari sepolti dielettrici. I risultati sono riportati in [2,3]. Nel metodo sviluppato, il campo diffuso dagli oggetti viene decomposto in onde cilindriche, ossia nel prodotto tra una funzione di Hankel ed un fattore angolare esponenziale. Per trattare la presenza dell'interfaccia piana si sfrutta il concetto di spettro di onde piane di un'onda cilindrica [4]. La riflessione di onde cilindriche in presenza di un'interfaccia piana era stata già studiata in passato, quando si era affrontato il problema dello scattering da oggetti cilindrici posti nello stesso semispazio di provenienza dell'onda piana incidente [5]. Nel caso presente, invece, si e' interessati alla trasmissione delle onde cilindriche fuori dal semispazio dielettrico in cui l'oggetto cilindrico era immerso. Sono state allora introdotte opportune funzioni d'onda cilindrica trasmessa e sono stati considerati i corrispondenti integrali spettrali.

Per valutare numericamente tali integrali sono state sviluppate apposite procedure adattive di tipo gaussiano e sono stati impiegati algoritmi di accelerazione della convergenza [6]. I codici implementati, grazie alla loro velocità di esecuzione, sono adatti per essere integrati in algoritmi di inversione nei quali è necessario risolvere ripetutamente il problema di scattering diretto. Sono stati caratterizzati scenari di interesse per applicazioni di rivelazione di oggetti sepolti mediante Ground Penetrating Radar (GPR) [7,9], apparecchiatura messa a disposizione dal gruppo di Roma Tre. Infine ultimamente il metodo e' stato esteso al caso di un'onda piana impulsata con forma generica nel dominio del tempo. Si effettua un campionamento dello spettro del campo incidente, il problema di scattering viene risolto nel dominio spettrale, e dopo aver calcolato i campi diffratti nel dominio della frequenza per ogni campione si ricostruisce il segnale nel dominio del tempo. Il programma di ricerca riguarda, dal punto di vista della teoria elettromagnetica, in primo luogo l'estensione degli studi precedenti al caso realistico di terreno con perdite. A questo scopo, era stata derivata come risultato iniziale un'espressione generale in forma chiusa per lo spettro angolare di un'onda cilindrica che si propaghi in un mezzo con perdite [10]. Durante il primo anno il metodo e' stato esteso al caso importante in pratica di oggetti sepolti in un mezzo dielettrico stratificato [11,12]. Si prevede di affrontare il caso di reticolo di cilindri sepolti (tramite una compenetrazione delle conoscenze acquisite in questo campo di ricerca e in quello delle strutture periodiche [13]).

Per avere maggiore conoscenza e confidenza sui limiti della simulazione, durante il primo anno si e' messo a punto un codice numerico proprio di simulazione elettromagnetica delle strutture considerate, basato sul metodo delle Differenze Finite nel Dominio del Tempo (FD-TD), sfruttando la precedente esperienza del gruppo Sapienza-Roma Tre nell'analisi di elementi scatteranti periodici [14]. Tale metodo e' impiegato fra l'altro da un codice di pubblico dominio denominato "gprmax" e unanimemente impiegato nella letteratura geofisica come riferimento per ottenere risultati di confronto. I primi risultati saranno presentati in [15]. Per quanto riguarda gli altri gruppi di ricerca coinvolti nella collaborazione interuniversitaria, l'interazione con l'Universita' "Quaid-i-Azam" di Islamabad, con l'Universita' Nazionale del Ruanda e con l'Universita' del Sannio in Benevento riguardera' l'applicazione particolare delle tecniche di scattering elettromagnetico allo sminamento umanitario. In tale contesto e' conveniente come e' noto un approccio misto, che utilizzi in modo combinato sensori sia di natura elettromagnetica, sia termica, sia acustica. Tale attivita' e' stata svolta durante il primo anno in collaborazione con il Laboratorio di Sminamento Umanitario della Sapienza, situato a Cisterna di Latina, da tempo impegnato nello sviluppo di tecniche teorico-sperimentali di rivelazione delle mine attraverso metodologie di tipo termico o acustico. Tale laboratorio partecipera' anche alla fase di realizzazione di strutture prototipo di antenne ed elementi scatteranti nonche' alla relativa caratterizzazione sperimentale.

Inoltre con l'Universita' di Islamabad si studiera' l'impiego delle tecniche analitiche sviluppate nel caso di materiali sepolti caratterizzati da condizioni al contorno piu' generali (e realistiche) di quelle dei conduttori o dei dielettrici ideali. L'interazione con l'Universita' del Ruanda riguardera' la simulazione elettromagnetica con metodi numerici degli scenari studiati. Infine con l'Universita' di Benevento si affronteranno gli effetti della rugosita' della superficie del terreno. La collaborazione con l'Universita' Politecnica delle Marche riguardera' invece lo sviluppo, per la rilevazione di oggetti sepolti, di un radar a Onda Continua Modulato in Frequenza (FM-CW) impiegante antenne (di tipo Vivaldi o a "ridge") opportunamente progettate. In particolare si pensa di utilizzare allo scopo un analizzatore di reti vettoriale (il Dipartimento di Ingegneria Elettronica e' dotato di due di tali strumenti, di cui uno portatile fornito dell'opzione "time domain". La collaborazione con l'Universita' di Salerno e con la ditta Emitech riguardera' lo studio di fattibilita' di un sistema di rilevamento di oggetti sepolti basato sul riscaldamento a microonde del terreno, in alternativa al riscaldamento convenzionale. Per i compiti scientifici interni all'unita' di ricerca della "Sapienza", il proponente prof. Frezza si occupera' degli aspetti di teoria e applicazioni elettromagnetiche, i proff. Ottavi e Ferrara degli aspetti di sistema e di software con particolare riferimento all'inquadramento nelle applicazioni ambientali, le proff. Germano e Martinelli degli aspetti matematici legati alla teoria delle funzioni speciali, delle questioni di analisi numerica per il problema diretto e della formulazione matematica del problema inverso. Il prof. Tizzi si occupera' in particolare degli aspetti termici. Riguardo infine il personale EP e tecnico, l'apporto sara' relativo al software, con particolare riferimento alle interfacce, alla realizzazione di prototipi, all'hardware dedicato per la caratterizzazione sperimentale. Per i compiti organizzativi interni all'unita' di ricerca, il proponente si occupera' del coordinamento del gruppo di lavoro e della revisione delle attivita'. I docenti del gruppo di ricerca individueranno insieme le linee guida della ricerca e gli obiettivi parziali da raggiungere. I dottori di ricerca, i dottorandi e gli altri collaboratori seguiranno la fase di studio preliminare e di precisazione dello stato dell'arte, l'implementazione teorica e numerica delle tecniche di analisi e sintesi, il progetto e la realizzazione di prototipi e la caratterizzazione e validazione sperimentale. Il personale esterno partecipera' alla fase di discussione dei problemi e valutazione dei risultati.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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