Primtal och primtalsfaktorisering

Teori

Primtal

Primtal är positiva heltal större än 1 som endast kan uttryckas som en produkt av sig självt och talet ett. Man kan också tänka sig att ett primtal endast är delbart med sig själv och siffran 1.

Ex 1.

7 är ett primtal eftersom endast 7 × 1 = 7, det går alltså inte att multiplicera några andra heltal för att få produkten 7.

8 är däremot inte ett primtal, eftersom 8 × 1 = 8, men också 4 × 2 = 8. Det finns alltså olika multiplikationsvariationer för att få produkten 8.

-3 är inte heller ett primtal, eftersom primtal endast är positiva heltal.

Det finns oändligt med primtal. Primtalen följer inte heller något mönster (åtminstone inte ett mönster någon matematiker hittills har hittat), vilket kan göra det svårt för människor att hitta dem. Datorer kan dock hitta väldigt stora primtal och snabbt.

Primtalsfaktorisering

Primtalsfaktorisering innebär att man skriver ett tal som en produkt av primtal. Man faktoriserar med andra ord ett tal tills endast primtal står kvar som faktorer. Alla positiva heltal kan skrivas som en produkt av primtal.

Ex 2.

Vi primtalsfaktoriserar talet 432.

432 = 216 × 2 Vi börjar med att faktorisera ut primtalet 2, eftersom 432 är ett jämnt tal.

= 108 × 2 × 2

= 54 × 2 × 2 × 2 Vi faktoriserar ut talet 2, tills det inte är möjligt mera.

= 27 × 2 × 2 × 2 × 2 Eftersom talet 27 är udda, försöker vi hitta ett annat primtal att faktorisera ut.

= 9 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2

= 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 När det endast finns primtal som faktorer är faktoriseringen klar.

Vi kan också ta hjälp av ett så kallat faktorträd. Faktorträdets grenar representerar de olika faktorerna. Nedan finns en bild som visar hur faktorträdet används.

Uppgifter

1. Vilka av talen -13, 5, 15, 97 och 103,3 är primtal? Motivera.

2. Räkna upp alla primtal mellan 1-100. Som tips till denna uppgift kan man söka upp Eratosthenes såll på nätet.

3. Primtalsfaktorisera talen 16, 124 och 325.

4. Om produkten av x och y är ett primtal, vad vet du om talen x och y?

Extra tankenöt

I en familj finns sex barn. Fem av barnen är 2, 6, 8, 12 respektive 14 år äldre än det yngsta barnet. Alla åldrarna i familjen är primtal. Hur gammalt är det yngsta barnet?