Moduloräkning

Ex.

Vi antar att vi har en klocka som rör sig i modulo 15. Vi antar också att vi har en räkneoperation ◷ som adderar ihop två klockslag. Beräkna 9◷9◷9.

Vår räkneoperation adderar ihop klockslag och därmed får vi följande uträkning 9 + 9 + 9 = 27.

För att få reda på vad 27 är i vår 15 modulos klocka dividerar vi 27 med 15 och kontrollerar vad vår rest blir.

27/15 = 1 rest 12.

Resten berättar åt oss vad klockan är, den är alltså 12.

Modulär aritmetik

Om vi vill skriva vårt tidigare exempel på ett mer officiellt sätt kan vi skriva det så här:

27 ≡ 12 (mod 15)

I klar text står det att 27 och 12 är kongruenta i modulo 15. Detta betyder alltså att i modulo 15 är 12 och 27 samma tal. För att skriva upp liknande situationer kan vi använda följande modell:

a ≡ b (mod n)

För att beräkna modulär aritmetik kan vi så som i vårt exempel dividera och få ut resten, eller sen subtrahera a och b med vårt modulo n, tills vi kommer till ett tal mindre än vårt tal n. På detta sätt går vi också eventuellt genom andra kongruenta tal till a och b. Vi kan också subtrahera så långt att vi kommer till negativa tal. Negativa tal kan också vara kongruenta med a och b.

Uppgifter

1. Vi har en klocka som rör sig i modulo 14. Bestäm följande klockslag.

• 5 ◷ 5
• 8 ◷ 12
• 12 ◷ 12 ◷ 12
• 17 ◷ 5

2. Räkna upp 5 tal som är kongruenta med 3 (mod 8), varav två bör vara negativa.

3. Är följande påståenden sanna?

• 17 ≡ 25 (mod 5)
• 69 ≡ 25 (mod 11)
• 31 ≡ 53 (mod 7)

4. Om vi vet följande: x ≡ 0 (mod y). Vad säger detta oss om sambandet mellan x och y?