окружность

11. Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами меньше, чем r + R , но больше, чем R — r.

25. На отрезке АВ взята точка С. Прямая, проходящая через точ­ку С, пересекает окружности с диаметрами АС и ВС в точках К и L, а также окружность с диаметром АВ — в точках М и N. Тогда КМ = LN.

30. Две окружности пересекаются в точках А и В. Продолжения хорд АС и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках Е и F. Тогда прямые CD и EF параллельны.

31. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. То­гда касательные, проведенные к окружностям через концы образовав­шихся хорд, параллельны.

32. Теорема Коперника. По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Тогда фиксированная точка К подвижной окружности движется по диаметру неподвижной окружности.

51. Две окружности касаются внутренним образом в точке М . Пусть АВ — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке Т. Докажите, что МТ — биссектриса угла АМВ.

52. Общие хорды трех попарно пересекающихся окружностей про­ходят через одну точку.

53. Точка М находится на продолжении хорды АВ. Если точка С окружности такова, что МС² = МА • МB, то МС — касательная к окружности.

80. Три окружности равных радиусов пересекаются в точке О и, кроме того, попарно пересекаются в точках А, В и С. Тогда

а) окружность, описанная около треугольника ABC, имеет тот же радиус;

б) три прямые, каждая из которых соединяет центр одной окруж­ности с точкой пересечения двух других, пересекаются в одной точке;

в) точка О — ортоцентр треугольника ABC.

104. Две окружности пересекаются в точках А и В. В каждой из этих окружностей проведены хорды АС и AD так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Тогда .

105. Окружность и прямая касаются в точке М. Из точек А и В этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные а и b соот­ветственно. Тогда расстояние от точки М до прямой АВ равно.

106. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Если расстояния от точки С, лежащей на окружности, до касательных равны а и b, то расстояние от точки С до прямой АВ (А и В — точки касания) равно .

110. Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и В и касаются прямой в точках С и D. N — точка пересечения прямых АВ и CD (В между А и N). Найдите

а) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;

б) отношение высот треугольников НАС и NAD, опущенных из вершины N.

116. Из точки А проведены к окружности две касательные АР и AQ (Р и Q — точки касания) и секущая AKL (точка К между А и L). Пусть М —середина отрезка KL,тогда AMP = AMQ.

117. На продолжении хорды KL окружности с центром О взята точ­ка А, и из нее проведены касательные АР и AQ; М — середина отрез­ка PQ. Докажите, что MKO = MLO.

121. Задача о бабочке. Через середину С произвольной хорды АВ окружности проведены две хорды KL и MN (точки К и М лежат по одну сторону от АВ). Отрезок KN пересекает АВ в точке Р. Отрезок LM пересекает АВ в точке Q. Докажите, что PC = QC.

123. Окружность Аполлония. Геометрическое место точек, рассто­яния от каждой из которых до двух данных точек относятся как т : п (т п), есть окружность.