Задачи для самостоятельного решения.
1. Через середину каждой диагонали выпуклого четырёхугольника проведена прямая параллельно другой диагонали. Докажите, что отрезки, которые соединяет точка пересечения этих прямых с серединами сторон четырёхугольника, разделяют его на равновеликие части.
2. (БГУ, 1991 г.) В треугольнике АВС единичной площади проведён отрезок AD (D[BC]), которые пересекает медиану CF в пункте М, причём FM=CF. Найдите площадь треугольника ABD.
3. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты точки , и соответственно, причём С=ВС, А=СА и В=АВ. Найдите площадь центрального треугольника, который отсекается отрезками А, В и С, если площадь центрального треугольника АВС равна 1.
(Ответ: 1/7.)
4. Надо, чтобы прямая, которая проходит через точку на стороне треугольника, поделила его на 2 равновеликие части. Постройте такую прямую.
(Указание: Через середину этой стороны провести прямую параллельно отрезку, который соединяет данную точку с противоположной вершиной; полученную точку пересечения этой прямой с другой стороной соедините с данной точкой.)
5. На продолжении стороны ВС выпуклого четырёхугольника АВСD найдите точку О такую, чтобы площадь треугольника ABО была равна площади четырёхугольника ABCD.
(Указание: проведите через точку D прямую, которая параллельна диагонали АС.)
6. Через вершину А выпуклого четырёхугольника ABCD проведите прямую, которая разбивает четырёхугольник на 2 фигуры одинаковой площади.
(Указание: пусть для достоверности <. Рассмотрите равновеликий треугольнику ABC треугольник АСЕ, основание СЕ которого лежит на продолжении стороны DC. В треугольнике EAD проведите медиану AF.)
7. Трапеция разделена диагоналями на 4 части. Найдите площадь трапеции, если площади частей, которые примыкают к основам, равны и .
(Ответ: S=.)
8. Прямая, параллельная основанию треугольника площадью , отсекает от него треугольник площадью . Найдите площадь четырёхугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвёртая лежит на основе исходного. (Ответ:S=.)
9. Выпуклый четырёхугольник АВСD имеет особенность: на стороне AB есть точка D такая, что MDBC, MCAD. Докажите, что .
10. В треугольник АВС вписан треугольник и возле его же описан треугольник , причём соответствующие стороны в треугольнике и параллельные. Докажите, что .
(Указание: проведите прямые A, B и C; покажіте, что они пересекутся в одной точке. Потом используйте результат задачи 42.)
11. Докажите, что если для некоторой точки О, которая лежит внутри четырёхугольника ABCD, площади треугольников ABO, BCO, CDO и DAO равны, то эта точка лежит на одной из диагоналей АС, ВD.
12. Прямая делит треугольник на 2 части, равные по площади и периметру. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит на этой прямой.
13. Из основания высоты остроугольного треугольника проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Докажите, что если основания этих перпендикуляров размещены на одной прямой с центром описанной окружности треугольника, то эта прямая делит треугольник на равновеликие части.
14. В треугольнике АВС на сторонах АВ, АС и ВС взяты точки , и так, что отрезки А , В и С пересекаются в одной точке. Точки , и симметричны точкам А, В, С относительно , , . Докажите, что =3+4.
15. . Площади четырёхугольников ABCD и равны относительно S и . Докажите, что если внутри четырёхугольника ABCD есть точка О, для которой ==, то S=2.
16. Докажите, что если последовательно соединить середины сторон выпуклого n-угольника (n), то площадь получившегося многоугольника будет не меньше, чем половина площади исходного.
17. Докажите, что сумма площадей 5 треугольников, которые созданы парами соседних сторон выпуклого пятиугольника, больше, чем площадь всего пятиугольника.
(Указание: достаточно взять даже четыре наибольших из 5 треугольников.)
18. (Конкурс «Абитуриент-91».) Но сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки и . Найдите площадь треугольника АВС, если =uv, uw, = (u-v)(u-w). Тут u>v, w – дополнительные числа.
(Ответ: S=.)
19. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основы равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте, которая проведена к боковой стороне. Какой вид примет это утверждение для точек на продолжениях основы?
(Указание: посчитайте площадь треугольника двумя способами.)
20. Докажите, что сумма расстояний от произвольного пункта внутри равностороннего треугольника к его сторонам постоянная и равна высоте треугольника. Какой вид примет утверждение для точек вне треугольника?
20. Прямая, которая проходит через центр вписанной окружности и центра тяжести треугольника, параллельна одной из его сторон. Докажите, что длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию. (Указание: радиус вписанной окружности равен от высоты, которая проведена к указанной стороне.)
21. Существует ли треугольник, у которого высоты равны 5, 10 и 11? (Указание: выразите стороны треугольника через площадь S и высоты: проверьте допустимость неровностей треугольника.)
22. Длины а и b двух сторон треугольника соответствуют условию а>b, соответствующие высоты равны и . Докажите, что:
А+b+.
(Указание: =. Кроме этого, Sab.)
23. В выпуклом пятиугольнике проведены 5 отрезков, которые соединяют вершины с серединами противолежащих им сторон («медианы»). Докажите, что если четыре из них пересекаются в одной точке, то и пятый проходит через эту точку.
(Указание: используйте результат задачи 7*.)
24. Многоугольник, описанные вокруг окружности радиусом r, разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше, чем r. (Указание: периметр любого треугольника меньше, чем периметр многоугольника. Используйте также формулу для площади через полупериметр и радиус вписанной окружности.)
25. На заводском дворе, который представляет собой квадрат 70х70 , имеются 3 прямоугольных постройки 20х10, 25х15 и 30х30 , а также 2 круглых бака диаметром 10 м. Докажите, что на этом дворе ещё можно разбить клумбу диаметром 10 м.