Sobre el cubo

A mediados de la década de 1970, Ernő Rubik trabajaba en el Departamento de Diseño de Interiores en la Academia de Artes y Trabajos Manuales Aplicados en Budapest. Aunque generalmente se dice que el cubo fue construido como herramienta escolar para ayudar a sus estudiantes a entender objetos tridimensionales, su propósito real era resolver el problema estructural que lograra mover las partes independientemente sin que el mecanismo entero se desmoronara. Rubik no se dio cuenta de que había creado un rompecabezas hasta la primera vez que mezcló su nuevo cubo e intentó volverlo a la posición original.​ Obtuvo una patente húngara (HU170062) en 1975. Originalmente, el cubo de Rubik fue llamado cubo mágico (Bűvös kocka) en Hungría.​ El rompecabezas no había sido patentado internacionalmente en el plazo de un año de la patente original. De esta manera, la ley de patentes impedía la posibilidad de patentarlo a nivel internacional. Ideal Toy Company quería al menos un nombre reconocible para registrar; el acuerdo puso a Rubik en el centro de atención debido a que el cubo mágico fue renombrado como su inventor.

Los primeros ejemplares del cubo de Rubik salieron a la venta a finales de 1977 en jugueterías de Budapest. El cubo mágico se unía por medio de piezas de plástico ensambladas entre sí que prevenían que las piezas se separaran, a diferencia de los imanes en el diseño de Nichols. En septiembre de 1979 se firmó un acuerdo con Ideal para vender el cubo mágico a nivel mundial y el rompecabezas hizo su debut internacional en ferias de juguetes de Londres, París, Núremberg y Nueva York en enero y febrero de 1980.

Después del éxito internacional del cubo de Rubik en las jugueterías occidentales se detuvo brevemente para que el juguete pudiera adecuarse a los estándares occidentales de seguridad y empaquetado. Se produjo un cubo más ligero e Ideal Toys decidió cambiarle el nombre; se consideraron el «Nudo Gordiano» y «Oro Inca», pero la compañía finalmente se decidió por el «cubo de Rubik». La primera entrega fue exportada de Hungría en mayo de 1980. A raíz de la escasez del producto surgieron muchas imitaciones más baratas.

Un cubo de Rubik estándar mide 5,7 cm en cada lado, aunque existen variaciones.7 El rompecabezas consta de 26 piezas o cubos pequeños. Cada una incluye una extensión interna oculta que se entrelaza con los otros cubos, mientras les permite moverse a diferentes posiciones. Sin embargo, las piezas centrales de cada una de las seis caras son simplemente un cuadrado fijado al mecanismo principal. Esto provee la estructura para que las otras piezas encajen y giren alrededor. De este modo hay 21 piezas: una pieza central consistente de tres ejes que sostienen los seis centros cuadrados en su lugar pero dejando que giren y 20 piezas de plástico que encajen en él para formar el rompecabezas montado.

Cada uno de los seis centros gira en un tornillo (sujetador) asidos por la pieza central. Un resorte entre cada cabeza de tornillo y su correspondiente pieza tensiona la pieza hacia el interior, por lo que el conjunto se mantiene compacto, pero todavía se puede manipular fácilmente. El tornillo se puede apretar o aflojar para cambiar la tensión del cubo. Los cubos de marca oficiales más recientes tienen remaches en lugar de tornillos, por lo que es imposible ajustarlos.

El cubo puede ser desarmado sin demasiada dificultad, generalmente rotando la capa superior unos 45° y haciendo palanca para quitar una pieza arista. Por lo tanto, este es un proceso simple de «resolver» el cubo, desmontarlo y volverlo a armar en un estado resuelto.

Hay seis piezas centrales que muestran una cara de un solo color, doce piezas arista que muestran dos caras coloreadas, y ocho piezas vértice que muestran tres caras coloreadas. Cada pieza muestra una combinación única de colores, pero no todas las combinaciones están presentes (por ejemplo, si rojo y naranja son lados opuestos de un cubo resuelto, no habrá una pieza arista roja-naranja). La localización relativa de esos cubos con respecto a otros puede ser alterada girando el tercio exterior o lado del cubo 90°, 180° o 270°, pero la ubicación relativa del color de los lados con respecto a otros no puede ser cambiada: está determinada por la posición relativa de los cuadrados centrales.

Douglas Hofstadter, en la edición de julio de 1982 de Scientific American, señaló que los cubos podían estar coloreados de tal manera que enfatizaran las aristas o los vértices, en vez de las caras, como la coloración estándar lo hace; pero ninguno de estos colores alternativos se volvió popular.​

Permutaciones

El cubo de Rubik original (3×3×3) tiene ocho vértices y doce aristas osea un cubo normal. Hay 8! (40 320) formas de combinar los vértices del cubo. Siete de estas pueden orientarse independientemente y la orientación de la octava dependerá de las siete anteriores, dando 37 (2187) posibilidades. A su vez hay 12!/2 (239 500 800) formas de disponer las aristas, dado que una paridad de las esquinas implica asimismo una paridad de las aristas. Once aristas pueden ser volteadas independientemente y la rotación de la duodécima dependerá de las anteriores, dando 211 (2048) posibilidades. En total el número de permutaciones posibles en el cubo de Rubik es de:

8!⋅12!⋅37⋅2112 = 43 252 003 274 489 856 000

Es decir, cuarenta y tres trillones doscientos cincuenta y dos mil tres billones doscientos setenta y cuatro mil cuatrocientos ochenta y nueve millones ochocientos cincuenta y seis mil permutaciones.24​

Caras centrales

El cubo de Rubik original no tenía marcas en las caras centrales (aunque algunos traían las palabras "cubo de Rubik" en el cuadrado central de la cara blanca), y por ende resolverlo no requería prestar atención en orientar correctamente dichas caras centrales. Sin embargo, algunos cubos han sido producidos comercialmente con marcas en todos los centros, como el cuboku. Teóricamente puede resolverse un cubo teniendo los centros rotados; pero se convierte en un desafío adicional resolver también los centros.

Marcar los centros del cubo de Rubik aumenta su dificultad debido a que expande el conjunto de posibles configuraciones distinguibles. Hay 46/2 (2048) maneras de orientar los centros, dado que una paridad de los vértices implica un número par de movimientos simples de los centros.

En particular, cuando el cubo es resuelto, aparte de las orientaciones de las caras centrales, siempre existirá un número par de caras centrales que requieren un giro de 90°. Las orientaciones de los centros incrementan el número total de permutaciones posibles del cubo de 43 252 003 274 489 856 000 (4.3 × 1019) a 88 580 102 706 155 225 088 000 (8.9 × 1022).25​

Girar un cubo alrededor de su propio eje es considerado un cambio de la permutación, ya que involucra contar las posiciones de las caras centrales. En teoría, existen 6! formas de disponer las seis caras centrales del cubo, pero solo 24 de estas son posibles sin tener que desarmar el cubo. Cuando las orientaciones de los centros también son contadas, el total de las permutaciones incrementa de 88 580 102 706 155 225 088 000 (8.9 × 1022) a 2 125 922 464 947 725 402 112 000 (2.1 × 1024).

Teoría de grupos

Sea P el conjunto de permutaciones del cubo de Rubik. Podemos definir la operación "seguida por", denotada por →, como

→: P × P → P

tal que a → b := b ∘ a:

es decir, a → b es el resultado de ejecutar primero a y luego b.

Llamaremos secuencia o algoritmo a cualquier expresión de la forma a1 → a2 → ... →an, donde a1, a2, ... , an son giros.

Afirmación: (P, → ) es un grupo.

Demostración:

• Clausura: a,b∈P, es fácil ver quer a∘b∈P, dado que son giros permitidos.

• Asociativa: (a → b ) → c = c ∘ (b ∘ a) = (c ∘ b) ∘ a = a → (b → c).

• Elemento neutro: la permutación trivial, la cual denotaremos por ∅, que corresponde a no hacer ningún giro, es decir, P → ∅ = ∅ → P = P.

• Inversos: cada permutación tiene inversa. En efecto, si P = a1 → a2 → ... →an es una secuencia y definimos Q = an-1 → ... → a2-1 →a1-1, se comprueba trivialmente que P → Q = Q → P = ∅.

Algoritmos

En la terminología de los aficionados al cubo de Rubik, una secuencia memorizada de movimientos que tiene un efecto deseado en el cubo es llamado algoritmo. Esta terminología deriva del uso matemático de algoritmo, un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos. Cada método de resolver el cubo emplea su propio conjunto de algoritmos, junto a descripciones de cuál es el efecto del algoritmo y cuándo puede ser usado para llevar al cubo a un estado más cercano a estar resuelto.

Muchos algoritmos son diseñados para transformar solo una pequeña parte del cubo sin desarmar otras partes ya resueltas y así poder ser aplicados repetidamente a diferentes partes del cubo hasta que quede resuelto. Por ejemplo, hay algoritmos para intercambiar tres vértices o cambiar la orientación de dos vértices sin cambiar al resto del rompecabezas.

Algunos algoritmos tienen un efecto deseado en el cubo (por ejemplo, intercambiar dos vértices) pero pueden tener efectos colaterales (como permutar dos aristas). Dichos algoritmos son a menudo más simples que otros sin efectos no deseados y son más comúnmente empleados al principio, cuando la mayor parte del rompecabezas no ha sido resuelto y los efectos secundarios no son importantes. Hacia el final de la solución son usados algoritmos más específicos (y por lo general más complejos) para evitar mezclar partes del cubo que ya han sido resueltas.

Notación

La mayor parte de los aficionados al cubo de Rubik usan una notación desarrollada por David Singmaster para codificar una secuencia de movimientos, denominada «notación Singmaster».​ Su naturaleza relativa permite que los algoritmos se escriban de manera tal que puedan aplicarse independientemente de a qué lado es designado el superior o cómo están organizados los colores en un cubo particular, las letras provienen del nombre de su posición en inglés, es decir «F» viene de front, «B» de back, etc.

• ' > movimiento antihorario

• 1 > R (derecha) el lado directamente a la derecha del frente.

• 2 > L' (izquierda): el lado directamente a la izquierda del frente.

• 3 > U' (arriba): el lado encima o en la parte superior del lado frontal.

• 4 > D (abajo): el lado opuesto a la parte superior, debajo del cubo.

• 5 > F (frente): el lado enfrente a la persona.

• 6 > B' (atrás): el lado opuesto al frente.

• 7 > R' (derecha): el lado directamente a la derecha del frente.

• 8 > L (izquierda): el lado directamente a la izquierda del frente.

• 9 > U (arriba): el lado encima o en la parte superior del lado frontal.

• 10 > D' (abajo): el lado opuesto a la parte superior, debajo del cubo.

• 11 > F' (frente): el lado enfrente a la persona.

• 12 > B (atrás): el lado opuesto al frente.

• 13 > M (medio):la capa del el medio lo que es igual a mover L y R a la vez

• 14 > M2 (medio): duplo

• 15> R2 (derecha): duplo

• 16> L2 (izquierda): duplo

• 16 > U2 (arriba): duplo

• 1> D2 (abajo): duplo

• 17 > F2(frente): duplo

• 18 > B2 (atrás): duplo

• f (dos capas frente): el lado enfrente a la persona y la correspondiente capa media.

• b (dos capas atrás): el lado opuesto al frente y la correspondiente capa media.

• u (dos capas arriba): el lado superior y la correspondiente capa media.

• d (dos capas abajo): el lado inferior y la correspondiente capa media.

• l (dos capas izquierda): el lado a la izquierda del frente y la correspondiente capa media.

• r (dos capas derecha): el lado a la derecha del frente y la correspondiente capa media.

• x (rotar sobre el eje x): rotar el cubo entero en R.

• y (rotar sobre el eje y): rotar el cubo entero en U.

• z (rotar sobre el eje z): rotar el cubo entero en F.

Cuando una letra es seguida por una prima, indica un movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que una letra sin prima indica un movimiento en sentido de las agujas del reloj. Una letra seguida por un 2 (ocasionalmente en superíndice, 2) indica dos giros, o un giro de 180º.

Para métodos que usan giros de capas medias (particularmente el método de vértices primero, desarrollado por Ernő Rubik) generalmente se acepta una extensión de la notación llamada «MES», donde las letras M, E y S indican movimientos de capas medias. Es usado, por ejemplo, en los algoritmos de Marc Waterman.​

• M (medio): capa interna vertical en sentido "l".

• E (ecuador): capa interna horizontal con el giro en sentido "u".

• S (posición): capa interna (central) superior movida en sentido "f".

El cubo de 4×4×4 y otros cubos más grandes usan una notación extendida para referirse a las capas intermedias adicionales. En general, las letras mayúsculas (F B U D L R) se refieren a las partes exteriores del cubo (llamadas caras). Las letras minúsculas (f b u d l r) se refieren a partes interiores del cubo (llamadas tajadas). Un asterisco (L*), un número en frente de la letra (2L), o dos capas en paréntesis (Ll), significan girar dos capas al mismo tiempo (tanto la cara izquierda interior como la exterior)

Soluciones óptimas

Artículos principales: Soluciones óptimas para el cubo de Rubik y Algoritmo de Dios.

Aunque hay un significativo número de posibles permutaciones para el cubo de Rubik, se han desarrollado una serie de soluciones que permiten resolver el cubo en 20 movimientos.​

Muchas soluciones para el cubo de Rubik se han descubierto de manera independiente. El método más popular fue desarrollado por David Singmaster y publicado en el libro Notes on Rubik's "Magic Cube" en 1981.​ Esta solución consiste en resolver el cubo capa por capa: la que se llama superior se resuelve primero, seguida de la del medio, y por último la inferior. Después de cierta práctica es posible resolver el cubo en menos de un minuto. Otros métodos son, por ejemplo, «esquinas primero» y métodos que combinan varios métodos.

Ernesto González, campeón de Canarias por 8" resolviendo un cubo de 3x3x3 durante la TLP de 2017

Se han desarrollado soluciones rápidas para resolver el cubo lo más eficazmente posible. El método más común fue popularizado por Jessica Fridrich. Es similar al método capa por capa, pero emplea una mayor cantidad de algoritmos, especialmente para orientar y permutar la última capa. Las cuatro aristas de la primera capa (la cruz) se resuelven primero, seguido de los vértices de la primera capa y las aristas de la segunda capa resueltos simultáneamente (F2L). Luego se orienta y permuta la última capa (OLL y PLL, respectivamente). La solución de Fridrich requiere aprender aproximadamente 120 algoritmos pero permite resolver el cubo en solo 56 movimientos promedio. Para facilitar su aprendizaje se suele aprender primero una reducción del método, esta consta de poco más de 10 algoritmos. Otra solución muy conocida fue desarrollada por Lars Petrus. En ese método una sección de 2×2×2 se resuelve primero, seguida de otra de 2×2×3, y luego las aristas colocadas incorrectamente se resuelven usando un algoritmo de tres movimientos que elimina la necesidad de un posible algoritmo de 32 movimientos. El principio de este método es eliminar la desventaja que se presenta en métodos capa por capa de tener que desarmar y volver a armar constantemente la primera capa; las secciones de 2×2×2 y 2×2×3 permiten que varios lados sean girados sin arruinar otros progresos. Una de las ventajas de este método es que tiende a dar soluciones en menos movimientos, por esa razón, el método es popular para competencias por número de movimientos.

En 1997 Denny Dedmore publicó una solución usando íconos esquemáticos para representar los movimientos que deben hacerse, en lugar de la notación habitual.​

La Solución definitiva para el cubo de Rubik de Philip Marshall es una versión modificada del método de Fridrich que usa 65 giros promedio pero requiere la memorización de solo 2 algoritmos.​

Un tipo diferente de solución es la desarrollada por Ryan Heise, la cual no utiliza algoritmos, sino un grupo de principios fundamentales que se pueden usar para resolver el cubo en menos de 40 movimientos.​

En 1982 David Singmaster y Alexander Frey plantearon la hipótesis de que el número de movimientos necesarios para resolver el cubo de Rubik, dado un algoritmo ideal, podría estar «en los veinte más bajos».​ En 2007, Daniel Kunkle y Gene Cooperman usaron una supercomputadora para demostrar que cualquier cubo de 3×3×3 podía ser resuelto en un máximo de 26 movimientos.​ Entre marzo y agosto de 2008, Tomas Rokicki bajó el máximo a 25, 23 y finalmente 22 movimientos. En julio de 2010 un grupo de investigadores, entre los que se encontraba Rokicki, trabajando con Google, demostró que el llamado «número de Dios» era 20.​ Por ejemplo, la posición conocida como «supervolteo» (U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U' D' R2 F R' L B2 U2 F2), donde cada arista está en su posición correcta pero mal orientada, requiere 20 movimientos para ser resuelta. Fue la primera que se encontró que requería 20 movimientos.​ De manera más general, se ha demostrado que un cubo de Rubik n × n × n puede ser resuelto de manera óptima en Θ(n2 / log(n)) movimientos.

 Existen diferentes variaciones del cubo de Rubik, que llegan hasta las trece capas: el cubo de 2×2×2, 3×3×3, el de 4×4×4, 5×5×5, de 6×6×6 (V-Cube 6), de 7×7×7 (V-Cube 7), de 8x8x8 (Shengshou 8x8), de 9x9x9 (Shengshou 9x9), de 10x10x10 (Shengshou 10x10), de 11x11x11 (YuXin 11x11), y de 13×13×13 (Moyu 13x13). Sin embargo, existen cubos de mayor tamaño que no han salido al mercado, por ejemplo, el diseñado por Oskar van Deventer, de diecisiete capas,​ presentado en el Simposio de Nueva York el 12 de febrero de 2011,[cita requerida] o el de 22×22×22 de corenpuzzle.​

CESailor Tech's E-cube es una variante electrónica del cubo de 3×3×3, hecha de ledes RGB e interruptores. Hay dos interruptores en cada fila y columna. Presionando un interruptor se indica la dirección de la rotación, lo cual ocasiona que el display de ledes cambie los colores, simulando rotaciones reales. El producto fue mostrado en el espectáculo de diseños universitarios del gobierno de Taiwán el 30 de octubre de 2008.

Otra variación electrónica del cubo de 3×3×3 Cube es el TouchCube. Deslizando un dedo sobre sus caras provoca que sus patrones de luces de colores roten de la misma manera que lo haría un cubo mecánico. El TouchCube fue introducido en la Feria de juguetes americana internacional en Nueva York en 15 de febrero de 2009.​

Entre las variaciones cúbicas destaca el "Cubo Mágico", que es mecánicamente idéntico al original, pero usa números de colores en sus caras de tal manera que la única forma de resolverlo es que todos los números estén al derecho en la misma cara; adicionalmente los números de las caras forman cuadrados mágicos, los cuales pueden tener todos la misma constante. Un cubo muy similar es el cuboku en el cual el objetivo es formar sudokus con los números de las caras. O un cubo cortado de manera no paralela a las caras: el Skewb. Otras incluyen colocar imágenes en lugar de colores o diseños de colores que confundan al que resuelve, como colocar en un 4×4×4 cuatro colores distintos en cada cara para un total de 24 colores distintos o reducir el número de colores a 3.

Una de sus variaciones más curiosa es el Oskar Treasure chest, creada por Oskar Van Deventer y producida en masa con posterioridad por Meffert. La característica que hace esta modificación única es que permite, una vez resuelto, extraer su capa superior (normalmente blanca), por dentro está hueco, haciendo posible esconder objetos del tamaño de una pelota de golf.​

El cubo ha inspirado a una categoría entera de rompecabezas similares, que incluye cubos de diferentes tamaños así como de distintas formas geométricas. Algunas de estas formas son el tetraedro (Pyraminx y su variante, Pyramorphix), el octaedro (Skewb diamante), el dodecaedro (Megaminx), el icosaedro (Dogic e Impossiball, icosaedro esférico). Hay también rompecabezas que cambian de forma, como el Rubik's Snake y el Square One, usado en competencias oficiales. Ernő Rubik ha creado otros rompecabezas que difieren bastante del diseño del cubo pero llevan su nombre, como Rubik 360, Rubik's clock, Rubik's magic y su variante Rubik's magic: master edition. Estos últimos tres eran usados, también, en competencias oficiales.

A su vez, se han creado diversos cuboides, rompecabezas basados en el cubo de Rubik pero con diferentes dimensiones, como el 1×1×2 (Boob cube), el 3×3×1 (cubo Floppy), el 2×2×4, 2×3×4, 3×3×5...​

Continuamente aparecen nuevas variantes del cubo original; una de las más originales es el cubo 3x3 DNA. La peculiaridad de este cubo es que es hueco, con diferentes formas geométricas en cada una de sus caras, existiendo la versión clásica y cóncava.61​

Durante el auge del cubo, la empresa de videojuegos Atari lanzó sus cartuchos para consola Atari 2600 llamados "Rubik's Cube" (CX2698),62​ "Atari Video Cube" (reedición que cambió el nombre por razones de copyright, CX2670) y el prototipo "Rubik's Cube 3D" que no salió al mercado.​

   Pyraminx

   Megaminx

   Skewb

   Mirror Cube

   Cubo 15 X15

   Cubo 33 X 33