Fundamentos de Análisis de
Estabilidad para Sistemas de Control
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Palabras clave: Polos, ecuación característica, semiplano izquierdo, convergencia, acotamiento.
Introducción
Introducción
En esta sección inicial, definiremos el concepto de estabilidad en sistemas de control desde sus bases matemáticas y físicas. Abordaremos por qué un sistema es estable únicamente si todos los polos de su función de transferencia en lazo cerrado residen en el semiplano izquierdo del plano complejo. Explicaremos cómo la ecuación característica (1+G(s)⋅C(s)=0) determina la dinámica del sistema, vinculando el diseño del controlador (PID, lead-lag, etc.) con su capacidad para mantener salidas acotadas ante perturbaciones. Finalmente, estableceremos las condiciones críticas que diferencian un comportamiento convergente de uno inestable (oscilaciones divergentes o saturación), sentando las bases para los métodos de análisis.
Antes de empezar, ¿qué es la estabilidad de un controlador?
La estabilidad de un controlador implica que, ante entradas acotadas o perturbaciones, la salida del sistema no diverge (permanece acotada) y alcanza un estado estacionario predecible. Un sistema inestable presenta oscilaciones crecientes o saturación, comprometiendo seguridad y desempeño.
TIPOS DE ESTABILIDAD
Estabilidad Asintótica
Estabilidad Asintótica
El sistema converge al punto de equilibrio tras una perturbación (polos con parte real estrictamente negativa).
Ejemplo: Tanque de líquido que recupera su nivel tras un cambio de flujo.
Inestable
Inestable
Al menos un polo con parte real positiva. Salida diverge incluso con entrada acotada.
Ejemplo: Motor eléctrico que acelera descontroladamente por retroalimentación errónea.
Estabilidad Marginal
Estabilidad Marginal
Polos puramente imaginarios (eje jω). Salida oscila sin crecer ni amortiguarse.
Ejemplo: Sistema con polos en
s=±j3→ oscilación a 3 rad/s.
FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA
Condición
Condición
Un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) es estable si y solo si todos los polos de su función de transferencia en lazo cerrado tienen parte real negativa (están en el semiplano izquierdo del plano complejo).
G(s): Función de transferencia de la planta.
C(s): Función de transferencia del controlador (ej: PID: Kp+Ki/s+Kds)
Ejemplo de sistema de lazo cerrado. Si quieres saber más de los sistemas de lazo cerrado, accede a este enlace.
FUNDAMENTAL: Para analizar la estabilidad de un sistema muestreado, se busca determinar las raíces de la ecuación característica (1 + GH(z)) para que el sistema tenga una respuesta transitoria que se extinga en el tiempo.
No Linealidades y Estabilidad
No Linealidades y Estabilidad
En sistemas no lineales (ej.: válvulas con saturación, fricción):
El criterio de polos no aplica directamente.
Herramientas alternativas:
Teorema de Lyapunov.
Análisis de plano de fases (sistemas de 2° orden).
Linealización por tramos.
CONCLUSIÓN
Los fundamentos de estabilidad no solo garantizan seguridad, sino que permiten optimizar el desempeño del controlador. Un sistema estable pero lento (polos muy negativos) o muy oscilatorio (polos cercanos al eje imaginario) puede ser tan inútil como uno inestable.
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