Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания.
Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания — Г. Лейбницем.
Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то оке в одно то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.
Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.
Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.
Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, фактический материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, доказанные теоремы.
Законы алгебры высказываний
Алгебра высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.
При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.
Законы алгебры высказываний (алгебры логики) — это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами.
В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.
Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.
Закон тождества:А=А
Закон непротиворечия: Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.
Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.
Закон исключенного третьего: В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.
Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: «либо — либо», «истина—ложь». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.
Законы коммутативности:
A v B = B v AА & В = В & А
Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.
Законы ассоциативности:
A v(B v C) = (A v B) v C; А & (В & C) = (A & В) & С.
Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.
Законы дистрибутивности:
A v (B & C) = (A v B) &(A v C)А & (B v C) = (A & B) v (А & C)