Palestrantes

A wide range of graph constructions may be formulated in which vertices represent elements of distinct algebraic systems and edges encode relations that encapsulate the structural properties of these systems. In this study, we examine multiple graph configurations associated with algebraic frameworks including groups, Latin squares, finite quasigroups, and loops. Our central objective is to investigate how the analysis of these diverse graph structures can yield insights and potential approaches to classical open problems in group theory, as well as to highlight open questions arising in other algebraic settings of interest, such as loops and related multiplicative systems.


[1] A. Abdollahi and H. Shahverdi, Characterization of the alternating group by its non-commuting graph, J. Algebra 357 (2012), 203–207.

[2] N. J. Cavenagh and J. Kuhl, On the chromatic index of Latin squares, Contrib. Discrete Math. 10 (2015), 22-30.

[3] J. Dénes and A. D. Keedwell, Latin squares: New developments in the theory and applications, Ann. Discrete Math., 46, North-Holland, Amsterdam, 1991.

[4] L. Goddyn; K. C. Halasz. All group-based Latin squares possess near transversals. Journal of Combinatorial Designs 28 (5) (2020), 358–365.

[5] K. C. Halasz, Coloring Cayley tables of finite groups, MSc thesis, Simon Fraser University, 2017.

[6] M. Hall and L. J. Paige, Complete mappings of finite groups, Pacific J. Math. 5 (1955), 541-549.

[7] Mark Jerrum, Computational Polya theory, in Surveys in Combinatorics 1995 (ed. Peter Rowlinson), London Math. Soc. Lecture Note Series 218, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, pp. 103–118.

[8] A. V. Kelarev and S. J. Quinn, A combinatorial property and power graphs of groups, (Proc. of the Vienna Conference, Vienna, 1999), Contrib. General Algebra 12 (2000), 229–235.

[9] H.O, Pflugfelder, Quasigroups and Loops: Introduction. Berlin: Heldermann Verlag, 1990. (Sigma Series in Pure Mathematics, v. 7).

[1] A. Giambruno, M. V. Zaicev, Central Polynomials of associative algebras and their growth, Proc. Am. Math. Soc. 147:3 (2018) 909-919.

[2] G. Giordani, A. Ioppolo, A. A. P. dos Santos and A. C. Vieira. On the central exponent of superalgebras with superinvolution. Can. Math. Bull. Published online (2025) 1-18.

Referências

[1] J. Szigeti, Z. Tuza and G. Révész. Eulerian polynomial identities on matrix rings. Journal of Algebra. 161. 1 (1993) 90-101.

work with: Juliane Capaverde; Miriam Abdon, Mariana Pérez and Melina Privitelli.

A construction of infinite families of self-orthogonal quasi-cyclic codes using constituent codes

Quasi-cyclic codes have been recently employed in the constructions of quantum error-correcting codes. In this paper, we propose a construction of infinite families of quasi-cyclic codes which are self-orthogonal with respect to the Euclidean and Hermitian inner products. In particular, their dimension and a lower bound for their minimum distance are computed using their constituent codes defined over field extensions of Fq. We also show that the lower bound for the minimum distance satisfies the square-root-like lower bound and also show how self-dual quasi-cyclic codes can arise from our construction. Using the CSS construction, we show the existence of quantum error-correcting codes with good parameters.

Two-dimensional left-symmetric algebras: polynomial identities and codimensions

An algebra A is called a left-symmetric algebra (or pre-Lie algebra) if it satisfies the polynomial identity

(x, y, z) = (y, x, z), 

where (x, y, z) = (xy)z − x(yz) denotes the associator in the variables x, y, z. When studying polynomial identities of a given algebra A, it is natural to consider the following questions:

1. Does the T-ideal of all polynomial identities of A, denoted Id(A), admit a finite (not necessarily independent) generating set?

2. If some generating set of identities of A is already known, how can one describe an equivalent independent generating set (a minimal basis)?

Recently, Kuz’min, Lopatin, and the author of the present talk answered both questions for all two-dimensional Novikov algebras over the complex numbers [3]. In this talk, we present minimal generating sets of the T-ideals of polynomial identities for two-dimensional left-symmetric algebras over the complex field C, as well as linear bases for the corresponding relatively free algebras. We prove that two-dimensional nonassociative left-symmetric algebras are isomorphic if and only if they satisfy the same polynomial identities. Moreover, we determine the codimension sequences of these algebras.

This is joint work with Artem Lopatin (UNICAMP) and Alexey Kuz’min (UFRN).

References:
[1] T. Beneš and D. Burde. Degenerations of pre-Lie algebras. J. Math. Phys., 50(11):112102, 9, 2009. doi:10.1063/1.3246608.

[2] D. Burde. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics. Central European Journal of Mathematics, 4:323–35, 2006.

[3] I. Ferreira dos Santos, A. M. Kuz’min, and A. Lopatin. Novikov algebras in low dimension: identities, images and codimensions. Journal of Algebra, 674:1–28, 2025. doi:10.1016/j.jalgebra.2025.03.015.

A teoria de representações de (super)álgebras toroidais quânticas é um assunto bastante técnico e difícil. Por outro lado, uma grande classe de módulos onde o elemento central C atua como 1 possui uma descrição fácil através de "partições com paridade".

Nesta palestra, darei um breve resumo da construção destas álgebras e explicarei como construir tais módulos.

PI-álgebras que geram variedades minimais de crescimento quadrático

Nos últimos anos, o estudo das variedades de álgebras cuja sequência de codimensões apresenta crescimento polinomial tem recebido considerável atenção na PI-teoria. Nesse contexto, destaca-se a busca por caracterizações e classificações dessas variedades de acordo com o comportamento assintótico de suas sequências de codimensões. Entre os objetos de estudo, encontram-se as PI-álgebras que geram variedades minimais de crescimento polinomial. Além de possuírem propriedades de interesse intrínseco, essas álgebras parecem desempenhar o papel de blocos fundamentais na construção de outras variedades que compartilham o mesmo tipo de crescimento assintótico. Nesta palestra, apresentaremos classificações das variedades minimais de crescimento quadrático geradas por PI-álgebras com estruturas adicionais, a saber, superálgebras munidas de involução graduada ou de superinvolução. Os resultados baseiam-se nas classificações obtidas em [1] e [2].

Referências

[1] D. Bessades and M. Santos, On superalgebras with superinvolution: minimal varieties of quadratic growth. (Preprint).

[2] A. Ioppolo, R. dos Santos, M. Santos and A. Vieira, Superalgebras with graded involution: classifying minimal varieties of quadratic growth. Linear Algebra and its Appl. 621 (2021) 105-134.

 Invariantes Morita de comódulo álgebras quasitriangulares

É bem conhecido que uma categoria monoidal trançada dá lugar a representações do grupo de tranças de tipo A. Também é conhecido que categorias módulo trançadas sobre categorias monoidais trançadas dão lugar a representações do grupo de tranças de tipo B. Mostramos que estas categorias também dão lugar a representações do grupo de tranças de tipo C. Se a categoria módulo é ademais simétrica, estas categorias dão lugar a representações do grupo de tranças de tipo D. Em 2010, Shimizu utilizou representações do grupo de tranças de tipo A para obter invariantes de representações de uma álgebra de Hopf quasitriangular. Utilizamos os tipos BC e D para produzir invariantes de categorias de representação de comódulo álgebras quasitriangulares. Este é um trabalho em conjunto com Chelsea Walton. 

 Sobre álgebras com estruturas adicionais e multiplicidades limitadas

Nesta palestra, apresentaremos caracterizações das variedades de álgebras munidas de estruturas adicionais com multiplicidades na decomposição do cocaracter limitadas por uma constante via identidades. Para isto, vamos exibir uma lista de identidades satisfeitas por tais variedades. 

Este trabalho foi realizado em colaboração com A.Vieira e R. dos Santos, ambos da UFMG.

Complexidade de blocos e grupos de defeito em grupos profinitos

A Teoria das Representações Modulares de Grupos Profinitos consiste no estudo da categoria de módulos pseudocompactos definidos sobre a álgebra de grupo completada k[G] de um grupo profinito G. Uma abordagem efetiva para entender o comportamento dos k[G]-módulos é através da Teoria de Blocos para grupos profinitos, que consiste em considerar uma decomposição de k[G] em um produto direto de álgebras pseudocompactas indecomponíveis- os chamados blocos de G-. Tal decomposição permite analisar os k[G]-módulos indecomponíveis na lente do bloco.

A cada bloco associa-se um pro-p subgrupo fechado D de G chamado grupo de defeito. Este subgrupo permite medir a complexidade do bloco. Quanto mais próximo D estiver do subgrupo trivial, mais próximo estará o bloco de ser uma álgebra semisimples análogo a como acontece no caso de grupos finitos.

Nesta palestra, descrevemos propriedades dos grupos de defeito, sua relação com os k[G]-módulos e caracterizaremos os blocos com grupos de defeitos cíclico e pro-2 diedrais infinito.

Este é um trabalho junto com John MacQuarrie (UFMG) e Florian Eisele (University of Manchester).

A álgebra invariante de uma álgebra de caminhos completa sob a ação de grupos de automorfismos.

   No final da década de 70, Vladislav Kharchenko mostrou que a álgebra invariante de uma álgebra livre (não comutativa) sob a ação de um grupo de automorfismos homogêneos é também uma álgebra livre. Mais do que isso, se o grupo é finito, existe uma correspondência biunívoca entre seus subgrupos e as subálgebras livre que contém a álgebra invariante.

  Em 2016 Claude Cibils e Eduardo Marcos mostraram que a álgebra invariante de uma álgebra de caminhos sob a ação de um grupo (finito) de automorfismos homogêneos é novamente uma álgebra de caminhos (utilizando a linguagem de categorias lineares livres). Além disso, se o grupo é invariante nos vértices, então a álgebra invariante não pode ter um tipo de representação mais complicado do que a álgebra de caminhos inicial, isto é, se a álgebra de caminhos é de tipo manso (ou finito), então a álgebra invariante é de tipo manso (ou finito).

  Nesta palestra, avaliaremos como estes resultados se relacionam com álgebras de caminhos completa.

Sequências produto-um minimais de comprimento máximo sobre o grupo não abeliano de ordem semiprima

Seja G um grupo multiplicativo finito. Uma sequência sobre G  é um multiconjunto finito de elementos de G, e esta é chamada de produto-um se seus termos podem ser ordenados de modo que seu produto seja a identidade de G. A constante de Davenport grande D(G)  é o comprimento máximo de uma sequência produto-um minimal (isto  é, uma sequência produto-um que não pode ser decomposta em duas subsequências produto-um não triviais).

Sejam p, q primos  ímpares tais que p | (q − 1) e seja Cq ⋊ Cp o grupo não abeliano de ordem pq. Sabe-se que 

                                D(Cq ⋊ Cp) = 2q.

Nesta palestra, vamos descrever todas as sequências produto-um minimais de comprimento 2q sobre Cq ⋊ Cp. Como aplicação, investigamos a k-ésima elasticidade (e, consequentemente, a união dos conjuntos contendo k) do monoide das sequências produto-um sobre esses grupos.

Este é um trabalho em conjunto com D. V.  Avelar (UFF) e F. E. Brochero Martínez (UFMG).

Referências

[1] D. V. Avelar, F. E. Brochero Mart ́ınez and S. Ribas, On minimal product-one sequences of maximal length over the non-abelian group of order pq, Preprint https://arxiv.org/pdf/2510.00070 (2025).

[2] D. J. Grynkiewicz, The large Davenport constant II: General upper bounds, J. Pure Appl. Algebra 217 (2013), 2221–2246.

[3] J. S. Oh and Q. Zhong, On minimal product-one sequences of maximal length over dihedral and dicyclic groups, Commun. Korean Math. Soc. 35 (2020), 83–116.

Álgebras com cocomprimento limitado: estruturas,  exemplos e classificações recentes

O estudo do cocomprimento tem se mostrado uma ferramenta poderosa para compreender a estrutura e o crescimento de PI-álgebras e de suas variedades. Introduzido a partir da teoria das identidades polinomiais e da representação do grupo simétrico, o cocomprimento mede o número de componentes irredutíveis que aparecem na decomposição do espaço de polinômios multilineares módulo as identidades de uma  álgebra. Resultados clássicos de Mishchenko, Regev e Zaicev mostraram que uma  álgebra possui crescimento polinomial das codimensões se, e somente se, sua sequência de cocomprimentos  é limitada. Nesta palestra, apresentarei uma síntese dos principais resultados sobre  álgebras com cocomprimento limitado e suas extensões para contextos com estruturas adicionais, como graduações, involuções e superinvoluçõoes graduadas. São discutidas classificações conhecidas, exemplos fundamentais e os métodos empregados na decomposição dos cocaracteres associados, destacando avanços recentes e perspectivas de pesquisa na  área.

[1] W. Q. Cota, A. Ioppolo, F. Martino and A. C. Vieira. On the colength sequence of G-graded algebras. Linear Algebra Appl. 701 (2024) 61-96.

[2] W. Q. Cota, T. S. do Nascimento. On the multiplicities of the central cocharacter of algebras with polynomial identities. Preprint.

[3] A. Ioppolo. Superalgebras with superinvolution or graded involution with colengths sequence bounded by 3. Internat. J. Algebra Comput. 30 (2020) 821-838.

[4] D. La Mattina. Characterizing varieties of colength ≤ 4. Comm. Algebra 37 (2009) 1793-1807.

[5] D. La Mattina, T. S. do Nascimento and A. C. Vieira. Minimal star-varieties of polynomial growth and bounded colength. J. Pure App. Algebra 222 (2018) 1765-1785.

[6] T. S. do Nascimento and A. C. Vieira. Superalgebras with graded involution and star-graded colength bounded by 3. Linear Multilinear Algebra 67 (2019) 1999-2020.

On varieties of graded algebras and homogeneous involution with almost polynomial growth 

An important aspect in the theory of algebras with polynomial identities is the study of the asymptotic behavior of the sequence of codimensions, which precisely measures the growth of polynomial identities of a given algebra A. In this context, graded identities naturally arise as prominent tools, since ordinary polynomial identities can be viewed as a particular case of graded identities. Moreover, as an involution does not necessarily preserve the homogeneous components of a grading, it is natural to consider the notion of a homogeneous involution. In this talk, we investigate the behavior of the codimension sequence in the setting of G-graded algebras and algebras with a homogeneous involution. Moreover, we characterize the varieties of polynomial growth in terms of the exclusion of a list of algebras from the variety. As a consequence, we provide the classification of the varieties with almost polynomial growth in this setting.

Work with: Felipe Yasumura (IME-USP).

Work with:  Juan Pacheco Cruz, Thaís do Nascimento e Ana Vieira.

Referências:

[1] A. Giambruno; S. Mishchenko; M. Zaicev; Polynomial identities on superalgebras and almost polynomial growth. Comm. Algebra 29 (2001), no. 9, 3787–3800.

[2] D. La Mattina; Varieties of almost polynomial growth: classifying their subvarieties. Manuscripta Math. 123 (2007), 185–203.

[3] D. La Mattina; Varieties of superalgebras of almost polynomial growth. J. Algebra 336 (2011), 209–226.