Perverse sheaves 是現代代數幾何中處理奇異性與拓撲結構以及上同調的關鍵工具。它們結合了同調與層的概念，能夠在保持拓撲資訊的同時，準確地捕捉空間的奇異行為，並在分解定理中扮演重要角色。
Springer 理論研究表示論與幾何之間的深層關聯，特別是透過幾何手段理解 Weyl 群的表示。perverse sheaves 提供了一種自然且具概念性的方式來建構 Springer 對應，使這些代數結構的來源得以被幾何化地呈現。舉例來說，在 GL_n 的情況下 Weyl 群會是置換群 S_n，此情況下我們將可以用 Springer 對應將 S_n 的 表現理解成一些幾何空間的上同調，並且藉由幾何空間給我們的直觀來研究 S_n 的表現。
本組將介紹 perverse sheaves 的基本理論與工具，並探討它們如何在 Springer 理論中實現幾何與表示論之間的橋樑。
Good moduli spaces for Artin stacks
在 moduli 理論中，algebraic stack 能有效處理一部分的問題，但過於複雜的性質使得它們難以直接應用於某些計算與結構研究。Jarod Alper 提出了 good moduli space 的概念，作為一種 stack 到 algebraic space/scheme 的「近似」。
Good moduli space 的映射同時保有許多重要結構，並在 GIT quotient有應用。它也提供了一套機制，讓我們能在 stack 層次進行構造與比較後，再落實到 algebraic space /scheme上。
本組將依據 Alper 的講義介紹 good moduli space 的定義、性質與例子，並以存在性定理為目標，探討在何種條件下我們能保證一個 stack 擁有對應的 good moduli space。
參考文獻
加法與乘法的相互現象 (sum-product phenomenon) 自1983年被 Paul Erdos 與 Endre Szemeredi 提出以來，一直是加性組合學當中的核心問題之一。其直接地揭示了實數上加法結構與乘法結構之間的不可相容性。直觀的來說，若一集合具有良好的加法結構(例：等差數列)，則其乘法必然是近乎無結構的，反之亦然。
更加值得注意的是，這樣的現象並非實數所獨有，在所有的體上(當然也包含有限體)也可以觀察到這樣的現象。因此，研究此一現象可以幫助我們更深層次的了解在各種體當中，加法與乘法之間的關係與作用。近半世紀以來，數學家們運用了許多手法，如重合幾何、能量論證法 (energy argument)、二分鴿籠法(dyadic pigeonholing)，在此問題上做出了許多進展。
本組將著眼於有限體，並介紹 Ali Mohammadi 與 Sophie Stevens 運用能量論證法與二分鴿籠法在此問題中於2021年所得到的最新進展。
參考文獻
Cluster 代數的 Laurent 現象及例子
若想知道一個 $a\times b$ 實數矩陣中，是否每個子方陣的行列式皆為正數，我們至少要問多少個子方陣才能確定，以及如何從我們詢問到的這些子方陣，證明其他方陣也都有正的行列式值呢？這是所謂的全正性問題。在回答的過程中，我們將會發現一些變換，這些變換可以從更廣的角度而論，Cluster代數應運而生。
Cluster代數是一個研究數學及物理中研究整值性而生的一個重要工具，在不同的數學領域如李代數、量子群（及扭結理論）、離散動態系統以及泰希米勒理論裡皆有出現。其中最重要的性質之一，是在Cluster代數上的變數變換皆可以原變數的Laurent多項式表達---所謂的Laurent 現象。
本組將介紹Cluster代數的定義，並解釋何謂Laurent 現象。我們也會以Cluster代數的角度詮釋格拉斯曼流形上的函數環。
參考文獻
ABP criterion and its application to special gamma values in positive characteristic
ABP criterion 為Anderson, Brownawell 及Papanikolas 於其2004年的文章所提出。能夠在dual t-motives的框架下有效處理有關函數體上線性獨立性的問題。配合後續Papanikolas 於2008年所提出的 difference Galois theory，ABP criterion在正特徵的超越性問題有很大的應用，並使得正特徵的超越數論相較於古典有更多的突破。
本組將follows ABP 2004年文章的內容，介紹ABP criterion 及其在special geometric gamma values 上的應用。
參考資料
Hilbert模型式所對應到的Galois 表現
朗蘭茲綱領（Langlands Program）是一個綜合了古典數論的各種問題——包含但不限於二次互反律、有理數體上的橢圓曲線的模性（費馬大定理的證明！）引領現代數論領域發展的基礎框架。簡單來說他提供了一個（數論上有趣的）代數物件和（比較容易研究的）解析物件的「對應」。限制在古典的一般線性群 G=GL_n 上來說，代數方面指的是某個數域的（絕對）伽羅瓦表現；解析方面指的是 GL_n 上的調和分析（自守表現論）；至於「對應」在 GL_n 的情形下真的是一個一對一對應，但是其他群如SL_n的情況下會是個有限對一的——指的是兩邊的$L$函數相等。
Taylor在這篇1989（和其續作）中構造了對應到權重2以上的Hilbert模型式（GL_2(F)上的自守形式，其中 F 是總實域）的Galois表現。這是朗蘭茲綱領中的「Galois表現構造問題」的面向。透過模代數簇（modular variety）的平展上同調來抽取出Galois表現、模性的提升問題（modularity lifting）等技術和想法，都對1995的和Wiles共同解決費馬大定理的里程碑結果有重要的影響。本組希望透過學習這個去有啟發性的情形來更了解朗蘭茲綱領的歷史並更體會其內涵。
參考資料
Taylor, R. “On galois representations associated to Hilbert modular forms I”
Taylor, R. “On Galois representations associated to Hilbert modular forms.” Elliptic Curves II, Modular Forms & Fermat’s Last Theorem: Proceedings of a Conference Held in the Institute of Mathematics of the Chinese University of Hong Kong, eds. John Coates and Shing-Tung Yau, International Press, 1995, pp. 155–175.