Referenze: 

• V. I. Arnold, A. Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, The Mathematical physics monograph series (1968).

• G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile, Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion, Springer-Verlag (2004). 

• V. I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti (1979) .

• L. D. Landau, E. M. Lifshitz. Meccanica. Editori Riuniti (1976).

• P. Buttà, P. Negrini. Note del corso di Meccanica Razionale. Edizioni Nuova Cultura (2012).

• G. Gentile. Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1. Springer (2021).

• G. Gentile. Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 2. Springer (2022).

Diario delle lezioni:

• Lezione 18 (04/04): Proprietà ergodiche del moto rettilineo uniforme sul toro bidimensionale con rapporto di frequenze irrazionale. Concetto di frequenza di visita ad un insieme E e sue proprietà. Introduzione di sistema dinamico metrico.

• Lezione 19 (05/04): Definizione generale di media temporale e media spaziale. Teorema di Birkhoff (enunciato). Definizione di sistema ergodico e sua caratterizzazione. Per un sistema dinamico metrico, nel quale lo spazio delle fasi sia un compatto di R^n,  equivalenza fra la nozione di sistema ergodico e la proprietà che il sistema non ammette integrali primi non banali.

• Lezione 20 (23/04): Verifica che un sistema decomponibile non è ergodico. Interpretazione probabilistica della proprietà di ergodicità in termini di perdita di memoria in media. Definizione di sistema mescolante. Per sistemi dinamici metrici, dimostrazione che essere mescolante implica essere ergodico. Esempio di sistema mescolante, il gatto di Arnold (parte I): analisi delle sue proprietà spettrali e grafico delle iterazioni del suo flusso.

• Lezione 21 (30/04): Esempio di sistema mescolante, il gatto di Arnold (parte II): dimostrazione che è un sistema mescolante tramite serie di Fourier. Calcolo degli esponenti di Lyapunov per il gatto di Arnold e loro interpretazione come tasso di allontanamento/avvicinamento esponenziale per dati iniziali vicini sotto il flusso.

• Lezione 22 (02/05): Teorema di Oseledets (enunciato). Definizione generale di esponenti di Lyapunov per un sistema dinamico metrico discreto. Definizione di sistema caotico e sua interpretazione. Verifica che il gatto di Arnold è anche un sistema caotico. Richiami sugli elementi del corpo rigido (parte I): vincolo di rigidità e cinematica.

• Lezione 23 (03/05): Richiami sugli elementi del corpo rigido (parte II): relazione fondamentale della cinematica del corpo rigido, formula di Poisson, vincolo di rigidità perfetto. Studio della dinamica del corpo rigido perfetto: calcolo dell'energia cinetica nei casi del corpo rigido libero e corpo rigido con punto solidale fisso. Calcolo dell'energia cinetica rotazionale con definizione del tensore d'inerzia. Proprietà del tensore d'inerzia. 

• Lezione 24 (07/05): Ulteriori proprietà del tensore di inerzia. Moto di un corpo rigido con punto solidale fisso e che ruota attorno ad un asse fisso: calcolo della sua energia cinetica rotazionale, momento di inerzia rispetto all'asse fisso. Ellissoide di inerzia e sue proprietà. Teorema di Steiner.

• Lezione 25 (09/05): Proprietà dell'ellissoide di inerzia. Definizione di trottola simmetrica o di Lagrange. Formalismo Lagrangiano per un corpo rigido libero perfetto sottoposto a forza peso: disaccoppiamento in Lagrangiana del moto di caduta di un grave con massa concentrata nel baricentro e Lagrangiana rotazionale con baricentro fisso in assenza di forze esterne. Studio dell'ultima Lagrangiana rotazionale e suoi integrali primi. Definizione degli angoli di Eulero.

• Lezione 26 (10/05): Ancora sugli angoli di Eulero. Dimostrazione del lemma: il generatore della composizione di rotazione successive è dato dalla somma dei generatori delle singole rotazioni. Calcolo della rotazione che intreccia la terna fissa a quella mobile, solidale con il corpo ridigo, e del suo generatore. Calcolo della Lagrangiana rotazionale nelle coordinate date dagli angoli di Eulero. Determinazione delle soluzioni del moto della trottola di Lagrange in assenza di forze esterne e con baricentro fisso (parte I).

• Lezione 27 (16/05): Determinazione delle soluzioni del moto della trottola di Lagrange in assenza di forze esterne e con baricentro fisso (parte II). Studio del moto della trottola pesante: introduzione e analisi del sistema ridotto della trottola pesante (parte I).

• Lezione 28 (17/05): Studio del moto della trottola pesante: introduzione e analisi del sistema ridotto della trottola pesante (parte II), distinguendo i casi in cui le coordinate di Eulero sono singolari/non-singolari. Analisi delle curve di tipo cicloide per l'angolo di nutazione e di azimut per un caso particolare dei parametri e costanti del moto.

• Lezione 29 (06/06): Richiami sulle nozioni di stabilità per punti di equlibrio di sistemi dinamici descritti da un'equazione differenziale di primo grado con campo vettoriale di classe C^1. Introduzione di sistemi gradiente e loro proprietà.

• Lezione 30 (07/06): Dimostrazione delle proprietà di sistemi gradiente. Studio di un particolare sistema gradiente.