Programa

Área: Geometría Proyectiva / Combinatoria Algebraica

Pre-requisitos: Álgebra Lineal, Geometría Analítica Básica, Álgebra (Cuerpos Finitos)

Se introducirá el estudio de configuraciones de rectas en el plano proyectivo, comprendiendo su geometría, combinatoria y aplicaciones a investigación de pregrado.

Contenidos: 

• Rectas en el plano proyectivo sobre distintos cuerpos

• Intersecciones de rectas y curvas

• Teoremas clásicos (Pappus, Ceva, Sylvester–Gallai) 

• Configuraciones especiales (Fano, Hesse, Ceva)

• Desigualdades de multiplicidades y números de Chern

• Combinatoria de configuraciones

Área: Geometría Proyectiva / Geometría Algebraica

Pre-requisitos: Álgebra Lineal, Geometría Analítica Básica

 Se introducirá la teoría geométrica y algebraica de las cónicas, entendiendo su clasificación, su relación con estructuras proyectivas y su papel en investigación contemporánea.

Contenidos: 

• Cónicas afines y proyectivas

• Coordenadas homogéneas, matrices simétricas y formas bilineales

• Teorema de Bézout

• Penciles de cónicas, degeneraciones.

• Construcción del grupo de una cónica.

Área: Geometría Algebraica

Pre-requisitos: Álgebra Abstracta, Álgebra Lineal, Cálculo, Geometría Analítica (Básica)

Se proporcionará una introducción a la teoría de curvas elípticas, comprendiendo su geometría, estructura de grupo y relación con toros complejos proyectivos.

Contenidos: 

• Cúbicas Afines y proyectivas

• Ecuación de Wierstrass

• Discriminante y j-invariante

• Puntos Racionales y de Torsión

• Estructura de Grupo en Curvas Cúbicas

• Toros complejos y embedimientos en el plano proyectivo

Área: Geometría Algebraica

Resumen

Cuando se estudia geometría algebraica es común y natural trabajar con variedades algebraicas definidas sobre el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos. No obstante, también existe una geometría algebraica sobre cuerpos de característica positiva, en la que surgen nuevos fenómenos geométricos que no existen en característica cero. Tales fenómenos son llamados “patológicos”, y su existencia se debe a la presencia del llamado morfismo de Frobenius. En esta charla discutiré la dicotomía entre las geometrías en característica cero y en característica positiva, y hablaré sobre las curvas cuasielípticas, que son los objetos m ́as simples que existen en característica positiva pero no en característica cero.

Área: Geometría Diferencial

Resumen

La geometría riemanniana nos permite estudiar espacios curvos mediante herramientas diferenciales que generalizan las nociones de distancia, ángulo y curvatura. En esta charla exploraremos el camino que va desde las superficies clásicas de Gauss hasta la curvatura de Ricci, pieza central en la física moderna y la geometría global. A través de ejemplos visuales y una exposición accesible, mostraremos c ́omo medir la curvatura intrínseca de un espacio y que información codifica sobre su estructura y dinámica.

Área: Geometría Proyectiva

Resumen

En esta charla se introducirá el plano proyectivo, el cual es un espacio fundamental para poder estudiar las variedades algebraicas. Así mismo, se introducirán nociones algunas nociones básicas, se verán ejemplos de subvariedades y se introducirán las coordenadas proyectivas.