30th Applications of Computer Algebra - ACA 2025, Heraklion, 14-18 July 2025
10th Greek Algebra-Number Theory Conference Heraklion, 23-24 May 2025
Tuesday 9/2/2024: Eleni Tzanaki (UOC) Συνδυαστική ομάδων Coxeter (II)
Friday 12/1/2024: Eleni Tzanaki (UOC) Συνδυαστική ομάδων Coxeter (I)
Friday 24/11/2023: Rizos Sklinos (UOC) Properties of Hyperbolic Groups (IV)
Friday 10/11/2023: Rizos Sklinos (UOC) Properties of Hyperbolic Groups (III)
Friday 3/11/2023: Rizos Sklinos (UOC) Properties of Hyperbolic Groups (II)
Thursday 26 /10/2023 : Rizos Sklinos (UOC) Properties of Hyperbolic Groups (I)
Wednesday 19/7/2023 : B. Sambale (Leibniz University Hannover)
Τίτλος : Converses of Gaschütz' complement theorem
Abstract: Let G be a finite group with an abelian normal subgroup N such that N\le H\le G and |N| is coprime to |G:H|. A well-known theorem by Gaschütz states that if N has a complement in H, then N also has a complement in G. In contrast to the Schur-Zassenhaus theorem, Gaschütz' theorem does not hold when N is non-abelian. We show however that the theorem still holds when all Sylow subgroups of N are abelian. On the other hand, we construct counterexamples whenever N'\cap Z(N)\ne 1.
Μάρτιος 2021
Τίτλος: Αμφι-Lipschitz ενσωμάτωση.
Περίληψη: Για να κατανοήσουμε καλύτερα έναν μετρικό χώρο, πολλές φορές είναι χρήσιμο να βρούμε μία εμφύτευση (embedding) του χώρου αυτού μέσα σε έναν Ευκλείδειο χώρο που να μην αλλοιώνει πολύ τη γεωμετρία του χώρου. Το πρόβλημα ενσωμάτωσης ασχολείται με την αναγνώριση των μετρικών χώρων για τους οποίους υπάρχει μία τέτοια εμφύτευση. Tο πρόβλημα αυτό έχει πρόσφατα προσελκύσει μεγάλο ενδιαφέρον στη θεωρητική πληροφορική και συγκεκριμένα στη γραφική απεικόνιση και σε θέματα αποθήκευσης και διαχείρισης μεγάλων δεδομένων.
Στο πρώτο μέρος της ομιλίας θα εξετάσουμε την ενσωμάτωση δύο υπό-Riemannian πολλαπλοτήτων, του επιπέδου του Grushin και της ομάδας του Heisenberg. Στο δεύτερο μέρος θα εξετάσουμε την ενσωμάτωση μετρικών χώρων με απλή τοπολογία (δέντρα) και καλή γεωμετρία. Η ομιλία βασίζεται σε συνεργασίες με τους Romney (2017), Li, Χουσιώνη, Zimmerman (2020), και David (2020).
Απρίλιος 2021
Title: "Twisted dynamical zeta functions and the Fried conjecture".
Abstract: In this talk, we will present some recent results on the twisted dynamical zeta functions of Ruelle and Selberg on compact hyperbolic
manifolds, and the Fried conjecture.This conjecture concerns the relation between the value at zero of the twisted Ruelle zeta function and a
spectral invariant: the complex-valued analytic torsion.
Τίτλος: "Ομοιόμορφα επανορθώσιμα σύνολα στην ομάδα του Heisengerg"
Περίληψη: Τα επανορθώσιμα σύνολα αποτελούν βασικό αντικείμενο μελέτης της γεωμετρικής θεωρίας μέτρου. Τα σύνολα αυτά γενικεύουν τις επιφάνειες της κλασικής διαφορικής γεωμετρίας και ενώ μπορεί να περιέχουν (πολλές) γωνίες, εξακολουθούν να είναι αρκετά ομαλά για να υποστηρίξουν μια πλούσια θεωρία τοπικής ανάλυσης. Ωστόσο, για ορισμένα ερωτήματα μη τοπικής φύσης, η έννοια των επανορθώσιμων συνόλων δεν δίνει ικανοποιητικές απαντήσεις. Από τα μέσα της δεκαετίας του 80, σε μια σειρά από σημαντικές εργασίες, οι P. Jones, G. David και S. Semmes ανέπτυξαν μια εκτενή θεωρία ποσοτικα επανορθώσιμων συνόλων σε Ευκλείδειους χώρους. Ένα βασικό κίνητρο για τις έρευνες τους ήταν η δημιουργία ενός γεωμετρικού πλαισίου για τη μελέτη ορισμένων ιδιαζόντων ολοκληρωτικών τελεστών και των συνδέσεών τους με την μιγαδική ανάλυση, την θεωρία δυναμικού και τις μερικες διαφορικές εξισώσεις.
Θα συζητήσουμε πρόσφατες προσπάθειες για τη δημιουργία αντίστοιχης θεωρίας στην ομάδα του Heisenberg. Όπως και στούς Εύκλείδειους χώρους, τα κίνητρα προέρχονται από ερωτήσεις που αφορούν ιδιάζοντες ολοκληρωτικούς τελεστές και μερικές διαφορικές εξισώσεις. Ωστόσο, προκύπτουν νέα φαινόμενα, τα οποία απουσιάζουν από τα αντίστοιχα προβλήματα στους Εύκλείδειους χώρους.
Τίτλος: Μια επισκόπηση του Minimal Model Program
Περίληψη: Το Minimal Model Program (MMP) διαδραματίζει θεμελιώδη ρόλο στην θεωρία birational ταξινόμησης αλγεβρικών προβολικών varieties. Πρωταρχικός σκοπός του είναι η εύρεση, σε κάθε birational κλάση ισοδυναμίας, ενός “καλού” αντιπροσώπου, δηλαδή ενός όσο το δυνατόν απλούστερου variety του οποίου οι ιδιότητες να μπορούν να μελετηθούν στην συνέχεια πιο εύκολα.
Αρχικά θα συζητήσουμε εν συντομία το MMP για αλγεβρικές επιφάνειες και έπειτα θα παρουσιάσουμε το MMP στην γενική του μορφή για αλγεβρικά varieties ανωτέρων διαστάσεων. Τέλος, θα αναφερθούμε συνοπτικά σε ορισμένα από τα κεντρικά ανοιχτά προβλήματα στο MMP (abundance conjecture, existence of minimal models conjecture, termination of flips conjecture).
Μάιος 2021
Τίτλος: Προς το θεώρημα πρωταρχικής και πλήρως κανονικής βάσης (Σε συνεργασία με τον Θ. Γαρεφαλάκη)
Περίληψη: Έστω GF(q) το πεπερασμένο σώμα q στοιχείων και GF(q^n) η επέκτασή του βαθμού n. Ένας γεννήτορας της πολλαπλασιαστικής ομάδας του GF(q^n) ονομάζεται πρωταρχικό στοιχείο. Ταυτόχρονα, μια GF(q)-κανονική βάση του GF(q^n) είναι μια GF(q)-βάση του GF(q^n) που αποτελείται από συζυγή στοιχεία ενός x του GF(q^n), ενώ το στοιχείο αυτό ονομάζεται κανονικό υπέρ του GF(q). Είναι γνωστό ότι για κάθε q και n υπάρχουν στοιχεία που συνδυάζουν τις δύο αυτές ιδιότητες.
Ένα στοιχείο του GF(q^n) που είναι ταυτόχρονα κανονικό υπέρ του GF(q^k), για κάθε διαιρέτη k του n, ονομάζεται πλήρως κανονικό υπέρ του GF(q), ενώ η ύπαρξη στοιχείων με την ιδιότητα αυτή είναι επίσης γνωστή για κάθε q και n. Οι Morgan και Mullen [Util. Math., 49:21-43, 1996], διατύπωσαν την εικασία ότι για κάθε q και n, υπάρχει ένα πρωταρχικό και πλήρως κανονικό στοιχείο του GF(q^n) υπέρ του GF(q) και η εικασία αυτή παραμένει ανοιχτή μέχρι σήμερα.
Στην ομιλία αυτή θα περιγράψουμε την απόδειξη της εικασίας για την περίπτωση q>n, θα παρουσιάσουμε τόσο προγενέστερες όσο και μεταγενέστερες προσπάθειες και θα συζητήσουμε πιθανές περαιτέρω βελτιώσεις.
Τίτλος: 0-cycles πάνω από αριθμητικά σώματα
Περίληψη: Μία κλασσική ερώτηση στη θεωρία αριθμών είναι η εύρεση ρητών λύσεων σε συστήματα πολυωνυμικών εξισώσεων. Με άλλα λόγια, η περιγραφή του συνόλου των ρητών σημείων μίας αλγεβρικής πολλαπλότητας. Από τη πλευρά της αλγεβρικής γεωμετρίας, μία φυσική ερώτηση είναι η ταξινόμηση αλγεβρικών πολλαπλοτήτων. Σε αυτή την ομιλία θα εισάγω μία ομάδα, την ομάδα Chow of zero cycles, η οποία είναι μία γεωμετρική αναλλοίωτη της αλγεβρικής πολλαπλότητας (οπότε συνδέεται με το πρόβλημα ταξινόμησης), αλλά συνδέεται και στενά με το ερώτημα ανεύρεσης ρητών σημείων. Η δομή αυτής της ομάδας για πολλαπλότητες ορισμένες πάνω απο το Q ή το Q_p παραμένει άγνωστη και είναι το αντικείμενο μεγάλων ανοιχτών εικασιών. Στο δεύτερο μέρος της ομιλίας θα παρουσιάσω ενδείξεις για για κάποιες από αυτές τις εικασίες για γινόνεμα ελλειπτικών καμπυλών.
Τίτλος: Συνδυαστική Coxeter, αριθμοί Catalan, και μια Λαπλασιανή μήτρα.
Περίληψη: Στην αλγεβρική συνδυαστική η μεταθετικη ομάδα έχει μια ιδιαίτερη θέση. Είναι από τα πρώτα αντικείμενα που γνωρίζει κανείς, αλλά παραμένει μια πολυ σημαντικη πηγη ιδεών και προβλημάτων. Η μεταθετικη ομάδα ανήκει στις (πεπερασμένες) ομάδες Coxeter και συχνά φαινόμενα που παρατηρούνται πρώτα σε αυτή είναι ειδικές περιπτώσεις θεωρημάτων που ισχύουν ομοιόμορφα στην οικογένεια Coxeter.
Οι αριθμοί Catalan αποτελούν μια απο τις πιο δημοφιλείς ακολουθίες στη συνδυαστικη (αν μη τι άλλο, το πέμπτο στοιχείο της ειναι ο 42) και η εκδοχή τους στις ομάδες Coxeter W κωδικοποιεί σημαντικές πληροφορίες για τη γεωμετρική θεωρία ομάδων και τη θεωρία αναπαραστάσεων της W. Παρα όλα αυτά, υπάρχει εδω ένα σημαντικό κενό κατανόσης (που αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα ανοιχτά προβλήματα της περιοχής) διότι έχουμε πολλά θεωρήματα για αυτούς τους αριθμούς που ισχύουν κατά λέξη για όλες τις ομάδες Coxeter, αλλά οι αποδείξεις τους είναι διαφορετικές για κάθε ξεχωριστή ομάδα (στηρίζονται στην ταξινόμησή τους).
Θα συζητήσουμε τους αριθμούς Catalan για ομάδες Coxeter, τη χρησιμότητά τους σε γειτονικές περιοχές έρευνας, και θα παρουσιάσουμε μια καινούρια μέθοδο που καταφέρνει να εξηγήσει πολλές ιδιότητές τους. Αυτή στηρίζεται στην ανάλυση του φάσματος μια Λαπλασιανής μήτρας που εισάγαμε σε προηγούμενη εργασία, και η οποία αποτελεί φυσική επέκταση της Λαπλασιανής γραφημάτων στην οικογένεια των ανακλαστικών ομάδων (Coxeter).
Ιούνιος 2021
Τίτλος: Compactifications of the Universal Jacobian and Tropical Geometry
Περίληψη: Η Jacobian μιας επιφάνειας Riemann αποτελεί το αρχετυπικό παράδειγμα ενός Abelian variety και είναι από τις πιο μελετημένες αλγεβρικές varieties. Όμως, αυτή η δομή της Jacobian χάνεται όταν η επιφάνεια αποκτά singularities, και επομένως η Jacobian δεν επεκτείνεται σε Abelian variety πάνω απ'το moduli space των nodal curve. Τα τελευταία χρόνια, διάφορες (μη Abelian) επεκτάσεις έχουν κατασκευαστεί. Σ'αυτή την ομιλία, μετά από μια αναθεώρηση της κλασικής Jacobian και του moduli space of curves, θα συζητήσω πώς αυτές οι επεκτάσεις μπορούν να κατανοηθούν μέσω της λύσης ενός πανομοιότυπου σε μορφή αλλά τεχνικά πολύ απλούστερου προβλήματος στα combinatorics: την κατασκευή της Jacobian μιας τροπικής καμπύλης, δηλαδή, ενός μετρικού γραφήματος.