Теорія ймовірностей

МЕТА ТА ЗАВДАННЯ ДИСЦИПЛІНИ

Основною метою викладання є формування у майбутніх менеджерів базових знань з основ застосування ймовірнісно-статистичного апарата для розв'язування теоретичних і практичних економічних задач.

Основними завданнями, що мають бути вирішені у процесі викладання дисципліни, є надання студентам знань щодо основних визначень, теорем, правил, доведення теорем та формування умінь:

- виконувати якісний і кількісний математичний аналіз випадкових подій, випадкових величин та систем таких величин;

- проводити математичну обробку статистичних даних;

- давати статистичну оцінку параметрів генеральної сукупності;

- здійснювати статистичну перевірку гіпотез;

- використовувати елементи дисперсійного аналізу; теорії кореляції;

- включати результати досліджень у математичні моделі економічних задач.

Здобувач освіти має знати:

• класичне, частотне та геометричне означення імовірності;

• формули додавання та добутку ймовірностей, повної ймовірності, Байєса, Бернуллі;

• граничні теореми (локальну та інтегральну Муавра-Лапласа, Пуассона, закон великих чисел та центральну граничну теорему);

• закони розподілу дискретних випадкових величин;

• закони розподілу неперервних випадкових величин;

• властивості функції розподілу та щільності ймовірності неперервних випадкових величин;

• означення коваріації та кореляції випадкових величин;

• означення ймовірнісного процесу та його характеристик;

• означення марковського процесу, класифікацію марковських процесів;

• означення варіаційного ряду та його числових характеристик;

• алгоритм застосування критерію згоди Пірсона;

• алгоритм застосування критерію згоди Колмогорова.

Здобувач освіти має вміти:

• обчислювати ймовірність події з використанням формул та правил комбінаторики;

• застосувати основні формули теорії ймовірностей ( формули додавання та добутку ймовірностей, повної ймовірності, Байєса, Бернуллі, граничних теорем) ;

• знаходити розподіли випадкових величин та їх числові характеристики;

• будувати граф станів марковського процесу;

• обчислювати граничні ймовірності та інші характеристики марковського ланцюга;

• будувати геометричне зображення варіаційних рядів та їх емпіричної функції розподілу;

• обчислювати оцінки параметрів розподілів випадкових величин за результатами статистичного експерименту;

• застосовувати найпростіші статистичні критерії.

ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ

1. Основні поняття теорії ймовірностей

Предмет теорії ймовірностей та його зв'язок з економічною наукою.

Поняття випадкової події. Класифікація подій на можливі, достовірні та випадкові. Простір елементарних подій. Відносна частота відбування події. Емпіричний закон стійкості відносних частот. Класичне і статистичне означення ймовірності. Геометрична ймовірність.

Основні формули комбінаторики.

Теореми додавання ймовірностей. Залежні та незалежні події. Умовні ймовірності. Теореми множення ймовірностей. Наслідки з теорем додавання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

2. Моделі повторних випробувань

Формула Бернуллі. Біноміальний закон розподілу ймовірностей та його графік. Найімовірніше число настання подій.

Локальна теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Формулювання інтегральної теореми Муавра-Лапласа, її застосування. Функція Лапласа.

3. Випадкові величини та їх числові характеристики

Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник розподілу. Приклади: біноміальний закон розподілу, закон розподілу Пуассона. Функція розподілу і щільність розподілу випадкової величини і їх властивості, крива розподілу.

Числові характеристики розподілу. Математичне сподівання і дисперсія. Теорема про середньоквадратичне відхилення. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.

Нормальний закон розподілу. Нормальна крива: вплив параметрів нормального розподілу на її форму. Ймовірність попадання випадкової величини з нормальним законом розподілу у заданий інтервал. Ймовірність заданого відхилення. Правило трьох сигм.

Поняття про функцію випадкового аргументу, закон її розподілу. Математичне сподівання функції одного випадкового аргументу. Закон розподілу суми двох випадкових величин. Розподіл Стьюдента. Розподіл Фішера-Снедекора.

Закон великих чисел. Принцип практичної впевненості. Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева і теорема Бернуллі. Поняття про теорему Ляпунова.

4. Основи математичної статистики

Завдання математичної статистики. Вибірковий метод і його основні поняття. Варіаційний ряд. Емпіричний закон розподілу, емпірична функція розподілу. Полігон і гістограма.

5. Статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності

Оцінка генеральної середньої. Застосування теореми Чебишева. Оцінка генеральної дисперсії. Характеристики якості оцінки: незміщеність, ефективність, спроможність.

Метод максимальної вірогідності (правдоподібності). Оцінка параметру р біноміального розподілу. Асимптотична ефективність максимально правдоподібних оцінок. Метод моментів.

Надійні проміжки. Поняття про інтервальне оцінювання. Надійний проміжок для математичного сподівання нормальної генеральної сукупності при відомій та невідомій генеральній дисперсії.

6. Статистична перевірка гіпотез

Загальне поняття про перевірку гіпотез. Основна гіпотеза та альтернативна. Помилки першого та другого роду. Потужність критерію.

Критерій х для перевірки гіпотез. Випадок оцінки параметрів. Перевірка гіпотези про розподіл за допомогою критерію х2.

7. Елементи дисперсійного аналізу

Однофакторний дисперсійний аналіз як процедура перевірки гіпотези про відсутність впливу фактора на досліджувану величину. Поняття про багатофакторний дисперсійний аналіз.

8. Елементи теорії кореляції

Функціональна і статистична залежність. Кореляційна таблиця знаходження зв'язку між випадковими величинами у вигляді лінії регресії.

Лінійна кореляція. Прямі регресії та знаходження їх параметрів методом найменших квадратів. Коефіцієнт регресії. Коефіцієнт кореляції.

Найпростіші випадки криволінійної кореляції. Кореляційне відношення. Поняття про кореляційну залежність між кількома величинами.

9. Статистика багатовимірних даних

Поняття про факторний аналіз.

Поняття про дискримінантний аналіз.