Charlas
Alejo García: Homeomorfismos de superficies topológicamente caóticos
Decimos que un homeo de una superficie es topológicamente caótico si tiene entropía positiva y crecimiento exponencial de órbitas periódicas. En esta charla veremos quién es cada uno de esos conceptos, daremos algunos ejemplos y resultados clásicos, y si tenemos tiempo les cuento algunas cosas de lo que venimos trabajando en estos meses.
Ernesto García: Pérdida de Dimensión para caminatas al azar en Grupos Fuchsianos
En esta charla voy a contar algunas ideas para probar que en ciertos subgrupos discretos de isometrías del plano hiperbólico, una caminata al azar finitamente soportada no puede ver toda la geometría del horizonte. La probabilidad de que la caminata se escape por un abierto cualquiera del horizonte es positiva, y sin embargo hay conjuntos de probabilidad total cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente más chica que la del horizonte. Se sospecha que este fenómeno se da muy en general, pero es una conjetura que no ha sido probada completamente, ni siquiera en dimensión dos.
Favio Pirán: Sistemas Hamiltonianos: Integrabilidad
La idea de la charla es mostrar con un par de ejemplos fáciles que un sistema conservativo se puede definir en función de su energía conservada, lo que llamamos sistema hamiltoniano. Vamos a intentar no ir a formalismos, ver que pasa cuando tengo otras funciones de energía que también se conservan y definir integrabilidad para luego demostrar un teorema de Arnold-Liouville.
Federico Carrasco: TBA
Florencia Cubría: Espectro complementario de un digrafo
La teoría espectral de grafos asocia a cada grafo G una familia de matrices y estudia un invariante en particular: su espectro. Si bien el espectro de un grafo describe muchas de sus propiedades estructurales, es sabido que existen familias de grafos coespectrales no isomorfos, por lo que el espectro no permite caracterizar los grafos en general.
El conjunto de valores propios complementarios de una matriz A, además de ser invariante en la familia de matrices de adyacencia de un grafo, reúne información espectral de G y de todos sus subgrafos inducidos conexos. Con estos antecedentes, Seeger en 2018 propone representar los grafos mediante su espectro complementario. Al día de hoy, no se conocen ejemplos de grafos no isomorfos que posean el mismo espectro complementario, más aún, se sabe que ciertos grafos quedan caracterizados a partir de éste conjunto.
En el marco de mi doctorado abordamos el anterior problema para digrafos. Comenzamos por introducir el concepto de valor propio complementario de un digrafo y logramos caracterizar en términos de propiedades estructurales aquellos digrafos con uno y dos valores propios complementarios. Si bien allí se encuentran pares de digrafos con igual espectro complementarios no isomorfos, éstos no son fuertemente conexos. El estudio de digrafos con tres valores propios complementarios, familia que logramos caracterizar, nos permitió obtener pares de digrafos de tamaño arbitrario, fuertemente conexos, con igual espectro complementario no isomorfos.
Javier Peraza: De Relatividad General a Teoría Cuántica de Campos (y posiblemente alguna que otra cuerda...)
La charla tendrá como eje temático la estructura de ciertas familias de soluciones a las Ecuaciones de Einstein (en el vacío): desde aquellas con simetrías que simplifican el problema, como en el caso de simetría cilíndrica o estacionaria, hasta la estructura algebraica de las simetrías en infinito para el caso de las soluciones asintóticamente planas. Comenzaremos con un raconto histórico, pasando por las soluciones originales de Schwarzschild y Kerr, hasta la introducción del Grupo de Geroch y del grupo BMS, para luego ver cómo las estructuras algebraicas de ambos ayudan a entender diversas propiedades de la contraparte cuántica (de existir semejante objeto) de la teoría clásica, via cuantizaciones algebraicas o canónicas. Por último, comentaremos sobre el trabajo que estamos realizando en el contexto de agujeros negros en topologías cilíndricas.
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Joaquín Lejtreger: El plano hiperbólico y su grupo de isometrías:
En esta charla voy a intentar explicar cómo podemos estudiar el plano hiperbólico a través de su grupo de isometrías: PSL(2, R). A modo de ejemplo se dará una prueba alternativa (y más complicada) del lema de Morse. Si da el tiempo vamos a ver cómo se puede generalizar esto a otras variedades simplemente conexas.
Joaquín Lema: Topología de 3-variedades y Foliaciones
Una 3-variedad es un bicho que localmente es parecido (homeomorfo) a R^3. Esta charla va a partirse en tres partes: primero presentaremos muchos ejemplos de 3-variedades y algunos resultados básicos de su topología, segundo definiremos lo que es una foliación y con suerte nos vamos a convencer que son objetos naturales a estudiar, y por ultimo, veremos que toda 3-variedad cerrada admite una foliación. Si da el tiempo comento algunos resultados obtenidos en mi tesis. La charla es 200% autocontenida.
Juan Morelli: Transitividad robusta de endomorfismos singulares:
Un endomorfismo continuo en una variedad induce un sistema dinámico definiendo la órbita de un punto por el sistema como el conjunto de sus iterados futuros a través del endomorfismo. En caso de existir algún punto cuya órbita sea densa, el sistema se denomina transitivo. Y si todos los mapas cercanos al anterior presentan algún punto con órbita densa el sistema se dice robustamente transitivo.
La transitividad de un sistema es una propiedad de importancia: presenta aspectos de interés en aplicaciones a través de la aproximación de valores vía estos puntos minimales; hasta aspectos de interés teóricos en la descomposición espectral de sistemas dinámicos en piezas básicas.
Hasta los años ´70 los únicos sistemas dinámicos robustamente transitivos conocidos eran los Anosov. A partir de esa década comienzan a aparecer ejemplos de difeomorfismos no hipérbolicos robustamente transitivos, camino que fue desarrollándose y en aproximadamente treinta años más permitió encontrar condiciones necesarias para la existencia de difeomorfismos con esta propiedad.
Hace apenas algo menos de diez años que comenzó a abandonarse el mundo de los difeomorfismos... sin embargo hemos encontrado una muy buena cantidad de resultados para este tipo de sistemas!
En esta charla intentaré contar algunos resultados muy muy recientes (2021) sobre esta propiedad para mapas en dimensiones arbitrarias que presentan puntos críticos.
Marcos Barrios: Topología en IET y AIET:
AIET es un subgrupo de biyecciones del intervalo [0,1), donde una biyeccion f pertenece a AIET si: es afín a trozos con pendiente positiva, la cantidad de discontinuidades es finita y es continua a derecha. IET es el subgrupo de AIET de los que tienen pendiente 1 en cada intervalo de continuidad. Lo que también se puede ver como dividir el intervalo en una cantidad finita de subintervalos y reoredenarlos.
En esta charla contaré algunas propiedades básicas de estos grupos. Luego veremos que propiedades son deseables a la hora de dar estructura de grupo topológico a estos grupos, algunos ejemplos y algunas propiedades topológicas en ellos. Por último veremos como son todos los morfismos (como grupos topológicos) de R a estos grupos.
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Verónica De Martino: Caminatas al azar y análisis espectral:
En esta charla voy a intentar motivar el cálculo explícito de medidas espectrales asociadas a ciertos operadores geométricos (cosa que a priori puede parecer engorroso e inútil) con algunos resultados de caminatas al azar en grafos.
Victoria García: Órbitas Horicíclicas en superficies de curvatura negativa:
El flujo horocíclico en una superficie de curvatura negativa está estrechamente relacionado con el flujo geodésico, el cual además tiene propiedades de hiperbolicidad. En el contexto de curvatura negativa constante, las medias de probabilidad invariantes por el flujo horocíclico han sido descriptas con buena precisión, pero se sabe muy poco sobre las clausuras de las órbitas cuando las superficies tienen volumen infinito, especialmente si son geométricamente infinitas.
Recientemente Matsumoto estudió cierta clase particular de superficies que aparecen naturamente en el estudio de ciertas foliaciones por superficies hiperbólicas, y probó que en estas superficies el flujo horocíclico no admite conjuntos minimales. También probó para estas superficies que los rayos geodésicos casi minimizantes contienen puntos de acumulación de la ́orbita horocíclica de sus puntos.
El objetivo de esta charla será presentar los objetos y las ideas generales involucradas en estos resultados, que valen en curvatura constante, y explicar las dificultades que van apareciendo para generalizarlos al contexto de curvatura variable.