Materia Optativa "Grupos y álgebras de Lie"
Materia de Posgrado "Una introducción a la Teoría de Lie"
Primer semestre de 2021
Profesor:
Emilio Lauret (Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, Argentina).
Presentación:
En el primer semestre de 2021 dictaré en la Universidad Nacional del Sur (UNS) la materia optativa "Grupos y álgebras de Lie" para estudiantes de la licenciatura en matemática de la UNS y, de manera simultánea, la materia de posgrado "Una introducción a la Teoría de Lie". Ambas serán esencialmente iguales excepto por algunos pocos contenidos y el método de evaluación (tanto en el cursado como en el examen final).
Período de cursado:
Desde el lunes 29 de marzo al viernes 16 de julio de 2021.
Días y horarios de las clases:
Dos clases teóricas semanales, los días lunes y miércoles de 8 a 9:30 hs (nuevo!). Habrá clases prácticas más informales que se confirmarán una vez que comience el cursado.
Modalidad:
Las clases serán dictadas de manera online. Es bienvenida cualquier persona que quiera presenciar (virtualmente) las clases, independientemente del lugar de residencia. Para esto, comunicarse conmigo enviando un e-mail a emilio.lauret@uns.edu.ar.
Desconozco si estudiantes (de grado o posgrado) de otras universidades pueden hacer valer el cursado de esta materia en sus respectivos lugares. A aquellas personas interesadas les sugiero realizar las averiguaciones necesarias y yo haré todo lo posible para que se pueda validar. [Tengo novedades al respecto. A las personas interesadas les sugiero comunicarse conmigo vía e-mail.]
Motivación:
La teoría de Lie ofrece herramientas muy importantes en diversas áreas tales como geometría diferencial, análisis armónico no conmutativo, álgebra, combinatoria, ecuaciones diferenciales, entre muchas otras. Las acciones de los grupos de Lie en diferentes espacios son entendidos como las simetrías del objeto. Estas simetrías suelen ayudar a traducir un problema proveniente de otra área al nivel de álgebras de Lie, especialmente de sus representaciones. Las representaciones irreducibles (i.e. aquellas que no pueden descomponerse como suma de dos representaciones) se comportan como átomos; su entendimiento particular es de extrema importancia.
Los primeros minutos de la charla plenaria Representation theory and geometry de Geordie Williamson en el ICM 2018 describe de una manera excepcional lo que intenté describir arriba con mis pobres palabras. Otra forma de encontrar motivación, algo algebraica en este caso, es leer las primeras secciones del clásico libro Representation Theory. A first course, por W. Fulton y J. Harris en donde se desarrolla la teoría de representaciones de grupos finitos; los grupos de Lie compactos, los cuales serán los actores principales del curso, pueden ser vistos como generalizaciones continuas de los grupos finitos. Por último, dejo dos enlaces que pueden ayudar: pregunta en StackExchange y en MathOverflow.
Requisitos previos:
Conocimientos básicos de variedades diferenciales y topología. Conocimientos avanzados de las diferentes estructuras algebraicas básicas: grupos, anillos y módulos.
Programa:
Unidad I: Nociones básicas. Grupos de Lie compactos, subgrupos y homomorfismos. Grupos de Lie clásicos. Representaciones, operaciones con representaciones, irreducibilidad, representaciones unitarias, descomposición.
Unidad II: Análisis armónico. Teoremas de ortogonalidad de Schur, caracteres. Representaciones de dimensión infinita, vectores finitos, descomposición canónica. Teorema de Peter y Weyl, teoría de Fourier. Teorema de Plancherel.
Unidad III: Álgebras de Lie. Álgebras de Lie abstractas, álgebras de Lie asociadas a grupos de Lie, mapeo exponencial, homomorfismos, subgrupos de Lie y subálgebras. Álgebras de Lie semisimples, subálgebras de Cartan y sus correspondientes toros maximales.
Unidad IV: Sistemas de raíces. Representaciones de álgebras de Lie, complexificación de álgebras de Lie, pesos de representaciones y raíces, caso sl(2,C). Retículos de pesos y su relación con el centro y el grupo fundamental. Grupo de Weyl, raíces simples y cámaras de Weyl, reflexiones.
Unidad V: Teorema del peso máximo. Pesos máximos, fórmula de integración de Weyl, fórmula del carácter de Weyl, fórmula de la dimensión de Weyl. Teoría del peso máximo, grupo fundamental.
(No me extrañaría que este programa sea demasiado optimista.)
Bibliografía principal:
Mark Sepanski. Compact Lie groups. Graduate Text in Mathematics 235. Springer.
Bibliografía secundaria:
Anthony Knapp. Lie Groups Beyond an Introduction (second edition). Progress in Mathematics. Birkhäuser.
William Fulton, Joe Harris. Representation theory. A first course. Graduate Text in Mathematics 129. Springer.
Roe Goodman, Nolan Wallach. Symmetry, Representations and invariants. Graduate Text in Mathematics 255. Springer.