14 - Позиционные системы счисления
Источники:
сайт Полякова (https://kpolyakov.spb.ru/)
демонстрационная версия станции КЕГЭ (https://kompege.ru/)
Embedded Files
1) (№ 4079 В.Шелудько) Значение выражения 5∙2161256 – 5∙361146 + 4∙61053 – 1087 записали в системе счисления с основанием 6. Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
x=5*216**1256-5*36**1146+4*6**1053-1087
s=0
while x>0:
s+=x%6
x//=6
print(s)
Ответ: 12642
2) (№ 4078 В.Шелудько) Значение арифметического выражения 103∙7103 – 5∙757 + 98 записали в системе счисления с основанием 7. Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
x=103*7**103-5*7**57+98
s=0
while x>0:
s+=x%7
x//=7
print(s)
Ответ: 280
3) (№ 4069 В.Шелудько) Значение выражения 7103 + 20∙7204 – 3∙757 + 97 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?
Решение
x=7**103+20*7**204-3*7**57+97
k=0
while x>0:
if x%7==6: k+=1
x//=7
print(k)
Ответ: 48
4) (№ 4068 В. Шелудько) Значение выражения 4503 + 3∙4244 – 2∙4444 – 95 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?
Решение
x=4**503+3*4**244-2*4**444-95
k=0
while x>0:
if x%4==3: k+=1
x//=4
print(k)
Ответ: 298
5) (№ 3862 А.Кабанов) Значение выражения 6411 – 410 + 96 – x записали в четверичной системе счисления, при этом сумма цифр в записи оказалась равной 71. При каком минимальном натуральном x это возможно?
Решение
a=64**11-4**10+96
s=0
x=0
while s!=71:
s=0;x+=1
y=a-x
while y>0:
s+=y%4
y//=4
print(x)
Ответ: 16
6) (№ 3861 А. Кабанов) Значение выражения 277 – 311 + 36 – x записали в троичной системе счисления, при этом сумма цифр в записи оказалась равной 22. При каком минимальном натуральном x это возможно?
Решение
a=27**7-3**11+36
s=0
x=0
while s!=22:
s=0;x+=1
y=a-x
while y>0:
s+=y%3
y//=3
print(x)
Ответ: 6
7) (№ 3860 А.Кабанов) Значение выражения 1257 – 254 + x записали в пятеричной системе счисления, при этом в записи оказалось 15 цифр 4, одна тройка и две единицы. При каком минимальном натуральном x это возможно?
Решение
a=125**7-25**4
s=[0]*5
x=0
while not(s[4]==15 and s[3]==1 and s[1]==2):
s=[0]*5
x+=1
y=a+x
while y>0:
s[y%5]+=1
y//=5
print(x)
Ответ: 849
8) (№ 3859 А. Кабанов) Значение выражения 6412 – 814 + x записали в восьмеричной системе счисления, при этом в записи оказалось 12 цифр 7 и одна единица. При каком минимальном натуральном x это возможно?
Решение
a=64**12-8**14
s=[0]*8
x=0
while not(s[7]==12 and s[1]==1):
s=[0]*8
x+=1
y=a+x
while y>0:
s[y%8]+=1
y//=8
print(x)
Ответ: 127
9) (№ 3856 А.Кабанов) При каком наименьшем натуральном значении переменной x двоичная запись выражения 41014 – 2x + 12 содержит ровно 2000 нулей?
Решение
a=4**1014+12
s=0;x=0;y=0
while not(bin(y)[2:].count('0')==2000):
x+=1
y=a-2**x
print(x)
Ответ: 2002
10) (№ 3855 А.Кабанов) При каком наименьшем натуральном значении переменной x двоичная запись выражения 42015 + 2x – 22015 + 15 содержит ровно 500 единиц?
Решение
a=4**2015-2**2015+15
s=0;x=0;y=0
while not(bin(y)[2:].count('1')==500):
x+=1
y=a+2**x
print(x)
Ответ: 2510
11) (№ 3689 Б.С.Михлин) Число 437 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях сумма цифр этого числа является простым числом? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
def pint(n):
if n<2: return n>1
if n%2==0: return n==2
d=3
while d*d<=n and n%d!=0:d+=2
return d*d>n
a=437
ss=0
for i in range(2,11):
b=a
s=0
while b>0:
s+=b%i
b//=i
if pint(s):ss+=i
print(ss)
Ответ: 33
12)(№ 3688 Б.С.Михлин) Число 210 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях цифры этого числа при чтении слева направо образуют убывающие арифметические прогрессии? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=210
ss=0
for i in range(2,11):
b=a
ck=-1
fl=1
s=''
while b>0:
if ck<b%i:ck=b%i;s=str(ck)+s
else: fl=0
b//=i
for c in range(len(s)-1):
if c==0: dd=int(s[c+1])-int(s[c])
elif int(s[c+1])-int(s[c])!=dd: fl=0
if fl==1:ss+=i
print(ss)
Ответ: 17
13) (№ 3687 Б.С.Михлин) Число 123 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях цифры этого числа при чтении слева направо образуют возрастающие арифметические прогрессии? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=123
ss=0
for i in range(2,11):
b=a
ck=10
fl=1
s=''
while b>0:
if ck>b%i:ck=b%i;s=str(ck)+s
else: fl=0
b//=i
for c in range(len(s)-1):
if c==0: dd=int(s[c+1])-int(s[c])
elif int(s[c+1])-int(s[c])!=dd: fl=0
if fl==1:ss+=i
print(ss)
Ответ: 17
14) (№ 3686 Б.С. Михлин) Число 559 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях сумма цифр этого числа нечетная? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=559
ss=0
for i in range(2,11):
b=a
s=0
while b>0:
s+=b%i
b//=i
if s%2==1:ss+=i
print(ss)
Ответ: 48
15) (№ 3685 Б.С.Михлин) Число 538 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях сумма цифр этого числа четная? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=538
ss=0
for i in range(2,11):
b=a
s=0
while b>0:
s+=b%i
b//=i
if s%2==0:ss+=i
print(ss)
Ответ: 44
16) (№ 3682 Б.С.Михлин) Число 622 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях запись этого числа содержит четное количество значащих цифр? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=622
ss=0
for i in range(2,11):
b=a
k=0
while b>0:
if b%i>0:k+=1
b//=i
if k%2==0:ss+=i
print(ss)
Ответ: 31
17) (№ 3675 П.М. Волгин) Значение арифметического выражения 1002 + 62525 + 5100 записали в системе счисления с основанием 15. В этой записи помимо цифр от 0 до 9 могут встречаться цифры из списка: №, #, @, $, *, которые имеют числовые значения от 10 до 14 соответственно. Сколько цифр @ встречается в этой записи?
Решение
a=100**2+625**25+5**100
k=0
while a>0:
if a%15==12: k+=1
a//=15
print(k)
Ответ: 3
18) (№ 3674 П.М. Волгин) Значение арифметического выражения 322 + 1024 + 10242 записали в системе счисления с основанием 16. В этой записи помимо цифр от 0 до 9 могут встречаться цифры из списка: А, B, С, D, E, F, которые имеют числовые значения от 10 до 15 соответственно. Сколько цифр 0 встречается в этой записи?
Решение
print(hex(32**2+1024+1024**2)[2:].count('0'))
Ответ: 4
19) (№ 3668) Число 1988 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях в записи этого числа нет двух одинаковых цифр, стоящих рядом? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=1988
ss=0
for i in range(2,10+1):
s=''
b=a
while b>0:
s+=str(b%i)
b//=i
fl=0
for c in range(0,i):
fl=max(fl,s.count(str(c)*2))
if fl==0: ss+=i
print(ss)
Ответ: 22
20) (№ 3667) Число 572 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях в записи этого числа есть две одинаковые цифры, стоящие рядом? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=572
ss=0
for i in range(2,10+1):
s=''
b=a
while b>0:
s+=str(b%i)
b//=i
fl=0
for c in range(0,i):
fl=max(fl,s.count(str(c)*2))
if fl>0: ss+=i
print(ss)
Ответ: 16
21) (№ 3666) Число 652 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях в записи этого числа нет цифры 2? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=652
ss=0
for i in range(2,10+1):
fl=0
b=a
while b>0:
if b%i==2: fl=1
b//=i
if fl==0: ss+=i
print(ss)
Ответ: 17
22) (№ 3659 Б.С. Михлин) Число 609 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях крайние цифры в записи этого числа (самая левая и самая правая) имеют разную четность? Например, число 124 – подходит, а 123 – нет, т.к. цифры 1 и 3 имеют одинаковую четность (нечетные). В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
a=609
ss=0
for i in range(2,10+1):
fl=0
b=a
s=''
while b>0:
s+=str(b%i)
b//=i
if (int(s[0])+int(s[-1]))%2==1: ss+=i
print(ss)
Ответ: 36
23) (№ 3653 Б.С. Михлин) Число 1234 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каком основании сумма цифр в записи этого числа будет максимальной? Если таких оснований несколько, то укажите максимальное из них.
Решение
ms=0
for i in range(2,11):
a,s=1234,0
while a>0:
s+=a%i
a//=i
if ms<=s: ms=s;ss=i
print(ss)
Ответ: 6
24) Решите уравнение
608 + x = 1207
Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
a=int('120',7)-int('60',8)
s=''
while a>0:
s=str(a%6)+s
a//=6
print(s)
Ответ: 23
25) Решите уравнение
547 + x = 3205
Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
a=int('320',5)-int('54',7)
s=''
while a>0:
s=str(a%6)+s
a//=6
print(s)
Ответ: 114
26) Запись числа 325 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно минимально возможное основание системы счисления?
Решение
s=2
while not(s**3 >=325 and 325%s==1):s+=1
print(s)
Ответ: 9
27) Запись числа 281 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
Решение
s=1
while s**2<=281:
s+=1
if s**3>=282 and 281%s==1: ms=s
print(ms)
Ответ: 14
28) Сколько единиц в двоичной записи числа
82014 - 2614 + 45
Решение
print(bin(8**2014-2**614+45)[2:].count('1'))
Ответ: 5432
29) Сколько единиц в двоичной записи числа
22014 - 4650 – 38
Решение
print(bin(2**2014-4**650-38)[2:].count('1'))
Ответ: 2010
30) Сколько единиц в двоичной записи числа
8148 - 4123 + 2654 – 17
Решение
print(bin(8**148-4**123+2**654-17)[2:].count('1'))
Ответ: 443
31) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа
41024 + 81025 - 21026 – 140
Решение
print(bin(4**1024+8**1025-2**1026-140)[2:].count('0'))
Ответ: 1032
32) Значение арифметического выражения:
274 - 95 + 38 – 25
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр "2" содержится в этой записи?
Решение
x=27**4-9**5+3**8-25
k=0
while x>0:
if x%3==2: k+=1
x//=3
print(k)
Ответ: 8
33) Значение арифметического выражения:
5⋅367 + 610 - 36
записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр "5" содержится в этой записи?
Решение
x=5*36**7+6**10-36
k=0
while x>0:
if x%6==5: k+=1
x//=6
print(k)
Ответ: 9
34) (№ 3658 Б.С.Михлин) Число 78 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях в записи этого числа каждые две соседние цифры имеют разную четность? Например, число 1234 – подходит, а 1243 – нет, т.к. цифры 2 и 4 имеют одинаковую четность. В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
k=0
for i in range(2,11):
a=78
s=''
while a>0:
s+=str(a%i%2)
a//=i
if s.count('00')+s.count('11')==0:
k+=i
print(k)
Ответ: 32
35) (№ 3672 П.М.Волгин) Значение арифметического выражения 72 + 494 - 21 записали в системе счисления с основанием 14. В этой записи помимо цифр от 0 до 9 могут встречаться цифры из списка: А, B, С, D, которые имеют числовые значения от 10 до 13 соответственно. Сколько цифр A и цифр 0 встречается в этой записи?
Решение
a=7**2+49**4-21
k=0
while a>0:
if a%14 in (0,10): k+=1
a//=14
print(k)
Ответ: 3
36) (№ 3673 П.М.Волгин) Значение арифметического выражения 262 + 169 - 11 записали в системе счисления с основанием 13. В этой записи помимо цифр от 0 до 9 могут встречаться цифры из списка: А, B, С, которые имеют числовые значения от 10 до 12 соответственно. Сколько цифр C и цифр 2 встречается в этой записи?
Решение
a=26**2+169-11
k=0
while a>0:
if a%13 in (2,12): k+=1
a//=13
print(k)
Ответ: 2
37) (№ 3858 А.Кабанов) При каком наименьшем натуральном значении переменной x в выражении 8120 – 9x + 50 сумма цифр в девятеричной записи числа равна 138?
Решение
a=81**20+50
x=0
while s!=138:
x+=1
b=a-9**x
s=0
while b>0:
s+=b%9
b//=9
print(x)
Ответ: 24
38) (№ 4073 В.Шелудько) Значение выражения 72103 – 6∙71270 + 3∙757 – 98 записали в системе счисления с основанием 7. Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
a=7**2103-6*7**1270+3*7**57-98
s=0
while a>0:
s+=a%7
a//=7
print(s)
Ответ: 5324
39) (№ 4074 В.Шелудько) Значение выражения 61333 – 5∙61215 + 3∙6144 – 86 записали в системе счисления с основанием 6. Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
a=6**1333-5*6**1215+3*6**144-86
s=0
while a>0:
s+=a%6
a//=6
print(s)
Ответ: 1303
40) (№ 4075 В.Шелудько) Значение выражения 41503 + 3∙4244 – 2∙41444 – 96 записали в системе счисления с основанием 4. Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
a=4**1503+3*4**244-2*4**1444-96
s=0
while a>0:
s+=a%4
a//=4
print(s)
Ответ: 902
41) (№ 4076 В. Шелудько) Значение выражения 71003 + 6∙71104 – 3∙757 + 294 записали в системе счисления с основанием 7. Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
a=7**1003+6*7**1104-3*7**57+294
s=0
while a>0:
s+=a%7
a//=7
print(s)
Ответ: 5686
42) (№ 4077 В.Шелудько) Значение выражения 6∙3431156 – 5∙491147 + 4∙71153 – 875 записали в системе счисления с основанием 7. Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
a=6*343**1156-5*49**1147+4*7**1153-875
s=0
while a>0:
s+=a%7
a//=7
print(s)
Ответ: 13950
43) (№ 4125 А.Богданов) Значение выражения 8118 – (818 – 1)∙((8 + 1)8 + 1) / 8 – 8 записали в системе счисления с основанием 3. Найдите количество единиц в этой записи.
Решение
a=81**18-(81**8-1)*((8+1)**8+1)//8-8 (обратите внимание на целочисленное деление)
s=''
while a>0:
s+=str(a%3)
a//=3
print(s.count('1'))
Ответ: 15
44) (№ 4169 Е.Джобс) Сколько существует целых положительных чисел, для которых одновременно выполняются следующие условия:
– в шестнадцатеричной записи содержится не более 8 цифр;
– в восьмеричной записи не менее 11 цифр;
– последняя цифра в десятичной системе счисления – 5?
Решение
a=int('ffffffff',16)
b=int('10000000000',8)
print(a,b)
c=(a-b)//10+1
print(c)
Ответ: 322122548
45) (№ 4168 Е.Джобс) Значение арифметического выражения: 7500 + 7200 – 750 – Х записали в системе счисления с основанием 7. Какая максимальная сумма разрядов может быть в таком числе, при условии что X и полученное значение положительны?
Решение
7500 + 7200 – 750 – Х
Если X = 7200 – 750+ 1 то получим выражение
7500 + 7200 – 750 – (7200 – 750+ 1) = 7500 – 1
Ответ: 3000
Для справки. X=10461838291314357175018899611816813659819188550170233659950140084035125767424262251774382614909364050293065248252546314174063178545218548540738607647059475964988106868753
46) (№ 3568) Сколько единиц в двоичной записи числа 8415 – 4162 + 2543 – 25?
Решение
print(bin(8**415-4**162+2**543-25)[2:].count('1'))
Ответ: 541
47) (№ 2178 М.В.Кузнецова ) Значение арифметического выражения: 3∙168 – 45 + 3 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?
Решение
k=0
x=3*16**8-4**5+3
while x>0:
if x%4==3: k+=1
x//=4
print(k)
Ответ: 12
48) (№ 2203) Значение арифметического выражения: 3611 + 625 – 21 записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр «5» в этой записи?
Решение
k=0
x=36**11+6**25-21
while x>0:
if x%6==5: k+=1
x//=6
print(k)
Ответ: 20
49) (№ 3661) Число 432 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях цифры в записи этого числа расположены в порядке невозрастания? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.
Решение
Вариант 1
k=0
for i in range(2,10+1):
a=432
s=''
while a>0:
s=str(a%i)+s
a//=i
f=1
for l in range(len(s)-1):
if s[l]<s[l+1]:f=0;break
if f: k+=i
print(k)
Вариант 2
k=0
for i in range(2,10+1):
a,s,f=432,0,1
while a>0:
if a%i<s: f=0; break
s=a%i
a//=i
if f:k+=i
print(k)
Ответ: 33
50) (№ 2934 Апробация 19 февраля 2022 года, Москва) Значение арифметического выражения
6 ∙ 512180 + 7 ∙ 64181 + 3 ∙ 8184 + 5 ∙ 8125 — 65
записали в системе счисления с основанием 64. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?
Решение
k,a=0,6*512**180+7*64**181+3*8**184+5*8**125-65
while a>0:
if a%64==0:k+=1
a//=64
print(k)
Ответ: 205
51)(№ 5515 И. Степанов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 55.
ZaYX55 – 2XaY55
В записи чисел переменной a обозначена неизвестная цифра из алфавита 55-ричной системы счисления. Определите наибольшее и наименьшее значение a, при котором значение данного арифметического выражения кратно 29. Для найденных значений a найдите модуль разности значений соответствующих выражений.
Решение
al='0123456789'
for i in range(26): al+=chr(ord('A')+i)
def f1(a):
global al
return al.find('Z')*55**3+a*55**2+al.find('Y')*55+al.find('X')
def f2(a):
global al
return 2*55**3+al.find('X')*55**2+a*55+al.find('Y')
amin=44
amax=0
for a in range(55):
if (f1(a)-f2(a))%29==0:
amin=min(amin,a)
amax=max(amax,a)
print(abs((f1(amax)-f2(amax))-(f1(amin)-f2(amin))))
Ответ: 86130
52)(№ 5514 И. Степанов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 44.
1x2344 + 32x144
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 44-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 42. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 42 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
def f1(x):
return 44**3+x*44**2+2*44+3
def f2(x):
return 3*44**3+2*44**2+x*44+1
for x in range(44):
if (f1(x)+f2(x))%42==0: xmax=x
print((f1(xmax)+f2(xmax))//42)
Ответ: 10140
53)(№ 5497 В.Шубинкин) Числа M и N записаны в системах счисления с основаниями 15 и 13 соответственно.
M = 2y23x515, N = 67x9y13
В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите наименьшее значение натурального числа A, при котором существуют такие x, y, что M + A кратно N.
Решение
s='0123456789abc'
a=10**16
for y in s:
for x in s:
n=int('67'+x+'9'+y,13)
m=int('2'+y+'23'+x+'5',15)
a=min(a,n-m%n)
print(a)
Ответ: 1535
54)(№ 20) Значение арифметического выражения:
98 + 35 – 9
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение
a,k=9**8+3**5-9,0
while a>0:
if a%3==2: k+=1
a//=3
print(k)
Ответ: 3
55)(№ 321) Запись числа 30 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Решение
for n in range(2,10):
a=30
s=''
while a>0:
s=str(a%n)+s
a//=n
if len(s)==4 and s[-1]=='0':
print(n,s)
Ответ: 3
56)(№ 322) Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором
225x = 405y?
Ответ записать в виде целого числа.
Решение
for y in range(6,10):
for x in range(y,10):
if 2*x**2+2*x+5==4*y**2+5:
print(x)
Ответ: 8
57)(№ 323) Укажите основание системы счисления, в которой запись числа 94 начинается на 23.
Решение
for n in range(4,100):
a,s=94,''
while a>0:
if a%n>9: s='*'+s
else: s=str(a%n)+s
a//=n
if s[:2]=='23':
print(n)
break
Ответ: 6
58)(№ 324) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 86 оканчивается на 22.
Решение
for n in range(3,100):
a,s=86,''
while a>0:
if a%n>9: s='*'+s
else: s=str(a%n)+s
a//=n
if s[-2:]=='22':
print(n)
break
Ответ: 6
59)(№ 326) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трёхзначна.
Решение
for n in range(2,100):
a,s=30,''
while a>0:
if a%n>9: s='*'+s
else: s=str(a%n)+s
a//=n
if len(s)==3:
print(n)
break
Ответ: 4
60)(№ 327) Запись числа 381 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.
Решение
for n in range(2,100):
a,s=381,''
while a>0:
if a%n>9: s='*'+s
else: s=str(a%n)+s
a//=n
if len(s)==3 and s[-1]=='3':
kn=n;sn=s
if len(s)==2:
break
print(kn)
Ответ: 18
61)(№ 328) Запись числа 67 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.
Решение
for n in range(2,100):
a,s=67,''
while a>0:
if a%n>9: s='*'+s
else: s=str(a%n)+s
a//=n
if len(s)==4 and s[-1]=='1':
print(n)
break
Ответ: 3
62)(№ 329) Запись числа 67 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.
Решение
x,s=7**2+2*7-6*8,''
while x>0:
s=str(x%6)+s
x//=6
print(s)
Ответ: 23
63)(№ 330) Сколько единиц в двоичной записи числа
42016 – 22018 + 8800 – 80
Решение
print(bin(4**2016-2**2018+8**800-80)[2:].count('1'))
Ответ: 2395
64)(№ 331) Сколько единиц в двоичной записи числа
42016 + 22018 – 8600 + 6
Решение
print(bin(4**2016+2**2018-8**600+6)[2:].count('1'))
Ответ: 221
65)(№ 335) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа
4512 + 8512 – 2128 – 250
Решение
print(bin(4**512+8**512-2*128-250)[2:].count('0'))
Ответ: 519
66)(№ 336) В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не более двух цифр. Чему равно число N? Если у задачи есть несколько решений, выберите наименьшее.
Решение
for n in range(2,88):
a,s=87,''
while a>0:
if a%n>9:s='*'+s
else:s=str(a%n)+s
a//=n
if len(s)==2 and s[-1]=='2':
print(n)
break
Ответ: 17
67)(№ 337) В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не менее трёх цифр. Чему равно число N?
Решение
for n in range(2,88):
a,s=87,''
while a>0:
if a%n>9:s='*'+s
else:s=str(a%n)+s
a//=n
if len(s)==3 and s[-1]=='2':
print(n)
break
Ответ: 5
68)(№ 338) Значение арифметического выражения:
98 + 35 – 2
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение
a,k=9**8+3**5-2,0
while a>0:
if a%3==2:k+=1
a//=3
print(k)
Ответ: 4
69)(№ 339) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа
4812 + 8800 - 23125 - 865 - 4312 + 130
Решение
print(bin(4**812+8**800-2**3125-8**65-4**312+130)[2:].count('0'))
Ответ: 1431
70)(№ 2174 ) Значение выражения 8115 + 322 – 27 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько цифр 8 содержится в этой записи?
Решение
a,k=81**15+3**22-27,0
while a>0:
k+=a%9//8
a//=9
print(k)
Ответ: 9
71)(№ 2176 М.В.Кузнецова) Значение арифметического выражения: 4912 – 710 + 78 – 49 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
Решение
a,k=49**12-7**10+7**8-49,0
while a>0:
if a%7==6:k+=1
a//=7
print(k)
Ответ: 20
72)(№ 2177 М.В.Кузнецова) Значение арифметического выражения: 274 – 95 + 38 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение
a,k=27**4-9**5+3**8-25,0
while a>0:
if a%3==2:k+=1
a//=3
print(k)
Ответ: 8
73)(№ 2180 М.В.Кузнецова) Значение арифметического выражения: 5∙367 + 610 – 36 записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр «5» содержится в этой записи?
Решение
a,k=5*36**7+6**10-36,0
while a>0:
if a%6==5:k+=1
a//=6
print(k)
Ответ: 9
74)(№ 2718 А.Богданов) Значение выражения
(781-1-(10-3)4)·5/6·8
записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 4 в этой записи?
Решение
a,k=(7**(9**2-1)-(10-3)**4)*5*8//6,0
while a>0:
if a%7==4:k+=1
a//=7
print(k)
Ответ: 74
75)(№ 2720 Д.Ф.Муфаззалов) Значение выражения (66+62019)·62019+66+66 записали в системе счисления с основанием 6. Укажите сумму цифр этой записи.
Решение
a,s=(66+6**2019)*6**2019+66+6**6,0
while a>0:
s+=a%6
a//=6
print(s)
Ответ: 14
76)(№ 2722) В какой системе счисления выполняется равенство 21X · 13X = 313X? В ответе укажите число – основание системы счисления.
Решение
x=4
while (2*x+1)*(x+3)-(3*x**2+x+3):x+=1
print(x)
Ответ: 6
77)(№ 2725) В какой системе счисления выполняется равенство 12X · 33X = 406X? В ответе укажите число – основание системы счисления.
Решение
x=7
while (x+2)*(3*x+3)-(4*x**2+6):x+=1
print(x)
Ответ: 9
78)(№ 2726 Е.А.Мирончик) В какой системе счисления выполняется равенство 12X · 33X = 406X? В ответе укажите число – основание системы счисления.
Решение
a,k=2**5*3**25,0
while a>0:
if a%3==0:k+=1
a//=3
print(k)
Ответ: 26
79)(№ 2727 Е.А.Мирончик) Выражение 43·319 записано в записано в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0.
Решение
a,k=4**3*3**19,0
while a>0:
if a%3==0:k+=1
a//=3
print(k)
Ответ: 20
80)(№ 2913 А.Н.Носкин) Сколько различных цифр в восьмеричной записи числа 2102 + 2100 + 285 + 217?
Решение
Вариант 1
a,s=2**102+2**100+2**85+2**17,''
while a>0:
if not(str(a%8) in s):s+=str(a%8)
a//=8
print(len(s))
Вариант 2
a,s=oct(2**102+2**100+2**85+2**17)[2:],''
for c in a:
if not(c in s):s+=c
print(len(s))
Ответ: 4
81)(№ 2914 А.Н.Носкин) Сколько различных цифр в шестнадцатеричной записи числа 251+240+235+217–25?
Решение
a,s=hex(2**51+2**40+2*35+2**17-2**5)[2:],''
for c in a:
if not(c in s):s+=c
print(len(s))
Ответ: 5
82)(№ 3508 Е. Джобс) Значение арифметического выражения: N25 – 2·N13 + 10 записали в системе счисления с основанием N. Определите основание системы счисления, если известно, что сумма разрядов в числе, представленном в этой системе счисления, равна 75.
Решение
for n in range(2,100):
a,s=n**25-2*n**13+10,0
while a>0:
s+=a%n
a//=n
if s==75:
print(n)
break
Ответ: 7
83)(№ 3513 Е.Джобс) Значение выражения (2345 + 865 – 4130)(8123 – 289 + 445) записали в восьмеричной системе счисления. Найдите сумму всех разрядов восьмеричной записи этого числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.
Решение
print(sum(map(int,oct((2**345+8**65-4**130)*(8**123-2**89+4**45))[2:])))
Ответ: 403
84)(№ 3556) Решите уравнение 104x + 20x = 84. Ответ запишите в двоичной системе счисления.
Решение
x=5
while x**2+4+2*x-84: x+=1
print(bin(x)[2:])
Ответ: 1000
85)(№ 3557) Решите уравнение 103x + 11 = 103x+1. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решение
x=4
while x**2+3+11-((x+1)**2+3): x+=1
print(x)
Ответ: 5
86)(№ 3558) Решите уравнение 101x + 13 = 101x+1. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решение
x=4
while x**2+1+13-((x+1)**2+1): x+=1
print(x)
Ответ: 6
87)(№ 3559 Е.А.Мирончик) Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 2379 + 2378 + 2377?
Решение
print(hex(2**379+2**378+2**377)[2])
Ответ: e
88)(№ 3561 Е.А.Мирончик) Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 21024 + 21025?
Решение
print(hex(2**1024+2**1025)[2])
Ответ: 3
89)(№ 3562 Е.А.Мирончик) Сколько цифр в восьмеричной записи числа 21024 + 21026?
Решение
print(len(oct(2**1024+2**1026)[2:]))
Ответ: 343
90)(№ 3563 Е.А.Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены символом *:
X = *516 = *0*8 .
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
Решение
k,x=0,max(16,8**2)
while x<16**2 and x<8**3:
if hex(x)[-1]=='5' and oct(x)[-2]=='0':k+=1
x+=1
print(k)
Ответ: 3
91)(№ 3564 Е.А.Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены символом *:
X = *E16 = 2*68 .
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
Решение
k,x=0,max(16,8**2)
while x<16**2 and x<8**3:
if hex(x)[-1]=='e' and oct(x)[-1]=='6'and oct(x)[-3]=='2':k+=1
x+=1
print(k)
Ответ: 4
92)(№ 3565 Е.А.Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены символом *:
X = 3*916 = 1**8 .
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
Решение
k,x=0,max(16,8**2)
while x<16**2 and x<8**3:
if hex(x)[-1]=='9' and hex(x)[-3]=='6'and oct(x)[-3]=='1':k+=1
x+=1
print(k)
Ответ: 0
93)(№ 3654 Б.С.Михлин) Число 2345 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каком основании сумма цифр в записи этого числа будет максимальной? Если таких оснований несколько, то укажите минимальное их них.
Решение
maxs=0
for n in range(2,11):
a,s=2345,0
while a>0:
s+=a%n
a//=n
if s>maxs: maxs=s;maxn=n
print(maxn)
Ответ: 7
94)(№ 9916 С.Чайкин) Значение арифметического выражения
5∗31917+6∗21878+7∗31870−1991
записали в системе счисления с основанием 17 без незначащих нулей. Какая цифра чаще всего встречается в этой записи?
Решение
m,a=[0]*17,5*3**1917+6*2**1878+7*3**1870-1991
while a>0:
m[a%17]+=1
a//=17
print(m.index(max(m)))
Ответ: 5
95)(№ 11305 М.Ишимов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 29.
47x4269629+8x2229
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 28. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 28 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
al='0123456789'
for i in range(19):al+=chr(ord('A')+i)
maxa=0
for x in al:
a=int('47'+x+'42696',29)+int('8'+x+'22',29)
if a%28==0: maxa=a
print(maxa//28)
Ответ: 2625537525
96)(№5669 М.Ишимов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 16:
8569x16 + 12x4816
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 16-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором у значения данного арифметического выражения, записанного в 8-ричной системе счисления, не встречается более двух чётных цифр.
Для найденного значения x запишите результат выражения в восьмеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
for x in '0123456789abcdef':
s=oct(int('8569'+x,16)+ int('12'+x+'48',16))[2:]
k=0
for c in '0246':
k+=s.count(c)
if k<=2: ms=s
print(ms)
Ответ: 2275735
97) (№6546 Ф.Лущекин) Известно, что в системах счисления с некоторыми основаниями p и q выполняется равенство 441p = 144q. Известно, что p и q – четырёхзначные числа, которые являются зеркальными отражениями друг друга (как, например, 1234 и 4321). Найдите минимальное подходящее значение p.
Решение
def cc(x,y):
z=0
xs=str(x)[::-1]
for c in range(len(xs)): z+=int(xs[c])*y**c
return z
for p in range(1001,9999):
q=int(str(p)[::-1])
if q>=1000:
if cc(441,p)==cc(144,q): print(p);break
Ответ: 3997
98) (№3579) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4230 + 8120 – 2150 – 100 ?
Решение
print(bin(4**230+8**120-2**150-100)[2:].count('0'))
Ответ: 105
99) (№5883 П.Волгин) Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с основанием 17:
10x017 + F0xFF17
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 13. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 13 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
Решение
al='0123456789'
for i in range(26):al+=chr(ord('A')+i)
for i in range(17):
if (int('10'+al[i]+'0',17)+int('F0'+al[i]+'FF',17))%13==0:break
print((int('10'+al[i]+'0',17)+int('F0'+al[i]+'FF',17))//13)
Ответ: 97028
100) (№5493 В.Шубинкин) Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с основаниями 15 и 17.
131x115 + 13x317
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра, допустимая в данных системах счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
Решение
al='0123456789'
for i in range(26):al+=chr(ord('A')+i)
for i in range(15):
if (int('131'+al[i]+'1',15)+int('13'+al[i]+'3',17))%11==0: d=i
print((int('131'+al[d]+'1',15)+int('13'+al[d]+'3',17))//11)
Ответ: 6101
101) (№18169 К.Багдасарян) Значение арифметического выражения 32000+310−х, где х – натуральное число, записали в троичной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором троичная запись значения данного выражения содержит 2000 цифр «2».
Решение
print(3**10+1)
Ответ: 59050
102) (№17973 Л.Шастин)Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 24.
12x73424+8x95x324+24x79624
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 24-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 23. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 23 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
maxy=0
al='0123456789'
for i in range(26): al+=chr(ord('a')+i)
for i in range(24):
a1=int('12'+al[i]+'734',24)
a2=int('8'+al[i]+'95'+al[i]+'3',24)
a3=int('24'+al[i]+'796',24)
a=a1+a2+a3
if a%23==0:maxy=a
print(maxy//23)
Ответ: 4166339
103) (№ 17869 Демоверсия 2025) Значение арифметического выражения
3⋅31258+2⋅6257−4⋅6256+3⋅1255−2⋅254−2025
записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?
Решение
k=0
a=3*3125**8+2*625**7-4*625**6+3*125**5-2*25**4-2025
while a>0:
if a%25==0:k+=1
a//=25
print(k)
Ответ: 10
104) (№16325 Открытый вариант 2024) Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением:
2⋅7292014+2⋅2432016−2⋅812018+2⋅272020−2⋅92022−2024.
Решение
k=0
a=2*729**2014+2*243**2016-2*81**2018+2*27**2020-2*9**2022-2024
while a>0:
if a%27>9:k+=1
a//=27
print(k)
Ответ: 2687
105) (№ 16261 Джобс 03.05.24) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21.
943697x2121–2x925321
В записи чисел переменными x и y обозначены неизвестные цифра из алфавита 21-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение разности (x – y), при котором значение данного арифметического выражения кратно 20. Для найденных x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 20 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.
Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
maxr=0
al='0123456789'
for i in range(26): al+=chr(ord('a')+i)
for x in range(1,21):
for y in range(x):
a=int('943697'+al[x]+'21',21)-int('2'+al[y]+'9253',21)
if a%20==0:
if x-y>maxr:
maxr=x-y
aa=a
print(aa//20)
Ответ: 17394273143
106) (№ 18168 К.Багдасарян) Значение арифметического выражения 52025+5400−х, где х – натуральное число в диапазоне от 10 до 70000, записали в системе счисления с основанием 5. Определите максимальное значение x, при котором данная запись содержит наибольшее количество цифр «4».
Решение
for x in range(70000,9,-1):
a=5**400-x
k=0
while a>0:
if a%5==4:k+=1
a//=5
if k==399:print(x);break
Ответ: 62501
107) (№17868 Демоверсия 2025) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19.
98897x2119+2x92319
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18.
Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.
Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
maxy=0
al='0123456789'
for i in range(26): al+=chr(ord('a')+i)
for i in range(19):
a1=int('98897'+al[i]+'21',19)
a2=int('2'+al[i]+'923',19)
a=a1+a2
if a%18==0:maxy=a
print(maxy//18)
Ответ: 469034148
108) (№ 16380 ЕГКР 27.04.24) Определите в 25-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 10:
4⋅31252019+3⋅6252020−2⋅1252021+252022−4⋅52023–2024.
Решение
k=0
a=4*3125**2019+3*625**2020-2*125**2021+25**2022-4*5**2023-2024
while a>0:
if a%25>10:k+=1
a//=25
print(k)
Ответ: 3030
109) (№15328 Досрочная волна 2024) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 27.
123x2427+135x7827
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 27-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 26. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 26 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
al='0123456789'
for i in range(26): al+=chr(ord('a')+i)
for i in range(27):
a1=int('123'+al[i]+'24',27)
a2=int('135'+al[i]+'78',27)
a=a1+a2
if a%26==0:maxy=a
print(maxy//26)
Ответ: 1213206
110) (№11233 М.Ишимов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26.
27x9887626+26x5126+15x4726+62x526
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 26-ричной системы счисления.
Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 25. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 25 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
al='0123456789'
for i in range(26): al+=chr(ord('a')+i)
for i in range(26):
a1=int('27'+al[i]+'98876',26)
a2=int('26'+al[i]+'51',26)
a3=int('15'+al[i]+'47',26)
a4=int('62'+al[i]+'5',26)
a=a1+a2+a3+a4
if a%25==0:print(a//25);break
Ответ: 739259957
Page updated
Google Sites
Report abuse