Académie Algérienne des Sciences et des Technologies

UNIVERSITÉ ABOUBEKR BELKAID-TLEMCEN

FACULTÉ DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

LABORATOIRE D'ANALYSE NON LINÉAIRE & MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

Organisent

Ecole avancée : EDP et Applications

19-28 Octobre 2025

Programme scientifique :

1-Mini-cours : 6 mini-cours, 4 séances de 1h 30 minutes pour chaque mini-cours

1-EDP fractionnaires et application.

2- Géométrie et EDP.

3- Méthodes topologiques pour les EDP non-linéaires.

4- Optimisation et calcul variationnel.

5- Comportement asymptotique: stabilité et blow-up.

6- Contrôle des EDO et EDP: Applications

Titres de Cours :

1- Cours Prof. Mahmoudi :

Titre: Phénomène de concentration pour des problèmes non linéaires issus de la Géométrie.

Résumé: Ce mini-cours porte sur l’étude d’un phénomène de concentration apparaissant dans une classe de problèmes non linéaires d’origine géométrique, liés à l’existence d’hypersurfaces plongées dans une variété riemannienne et possédant une courbure moyenne constante. Nous présentons quelques résultats d’existence pour de telles hypersurfaces. Par ailleurs, les exemples abordés illustrent un phénomène de concentration le long de sous- variétés, lié à un effet de résonance. Ce dernier complique considérablement l’analyse et se manifeste également dans d’autres contextes non linéaires, tels que les équations de Schrödinger non linéaires, les problèmes à perturbations singulières, ou encore les systèmes de réaction-diffusion.

2-Cours Prof. Bchatnia.

Titre: Introduction au Contrôle Optimal – Aspects Théoriques et Numériques

Résumé :
Ce cours propose une introduction au contrôle optimal pour les équations différentielles ordinaires et partielles. Il couvre les fondements mathématiques (conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité, principes vibrationnels, dualité) ainsi que les méthodes numériques pour l’approximation et la résolution des problèmes de contrôle. Un accent particulier est mis sur l’interaction entre théorie et algorithmes, avec des illustrations issues de problèmes concrets (trajectoires, contrôle de systèmes dissipatifs, EDP). Des démonstrations analytiques sont complétées par des simulations numériques avec Python.

3-Cours Prof. Dieb:

Titre : Uniqueness and Non-Degeneracy of Positive Solutions to Fractional Elliptic Problems

Abstract :

This course presents a detailed study of the uniqueness and non-degeneracy of positive solutions to nonlinear elliptic problems involving the fractional Laplacian, focusing on both bounded domains and the whole space RN . We will consider least-energy solutions and, more generally, solutions with Morse index one, with special attention to ODE-free methods and nonlocal spectral analysis. As a model case, we will study the classical fractional Lane-Emden nonlinearity, which serves as a fundamental example to illustrate the variational structure, qualitative properties of solutions, and key analytical challenges in the nonlocal setting. A central theme is the use of ODE-free arguments that rely on a detailed understanding of the linearized problem around a positive solution. We will investigate the symmetry of the second eigenfunction of the linearized operator, and introduce new Picone-type inequalities that allow us to prove general symmetry and uniqueness results without assuming radial symmetry of the domain. In the case of the whole space RN , we will present a monotonicity formula-based argument that plays a crucial role in proving uniqueness and characterizing the behavior of ground states.

References :

[1] Dieb, A., Ianni, I., Saldana, A.: Uniqueness and nondegeneracy for Dirichlet fractional problems in bounded domains via asymptotic methods. Nonlinear Anal. 236, 113354 (2023).
[2] Dieb, A., Ianni, I., Saldana, A. (2024). Uniqueness and nondegeneracy of least-energy solutions to fractional Dirichlet problems. Calc. Var. 63:238.
[3] Fall, M.M., Weth, T.: Nonradial nondegeneracy and uniqueness of positive solutions to a class of fractional semilinear equations. arXiv:2310.10577v4, (2024).
[4] Fall, M.M., Weth, T.: Second radial eigenfunctions to a fractional Dirichlet problem and uniqueness for a semilinear equation. arXiv:2405.02120, (2024).
[5] R. L. Frank, E. Lenzmann, L.Silvestre, Uniqueness of radial solutions for the fractional Laplacian, Comm. Pure Appl. Math., 69, (2016), 1671-1726.
[6] X. Fernandez-Real, X. Ros-Oton, Integro-Differential Elliptic Equations. Progress in Mathematics 350, Birkhauser, 2024.

4-Cours Prof. Mokkedem:

Titre: Introduction à la théorie de contrôlabilité en dimension infinie.

5-Cours Prof. Hantout:

Titre: La théorie de dualité en optimisation convexes.

6-Cours Prof. Chitour:

Titre: A preciser.