I miei interessi di ricerca mi portano a investigare le relazioni fra algebra e geometria, analisi armonica, e fisica matematica. I progetti di tesi che propongo si incardinano pertanto su questi temi. Per fornire alcuni spunti, riporto i progetti di tesi che ho (co-)supervisionato in passato.
Alessandro Panetti. Principio di Huygens per equazioni iperboliche della fisica matematica. Tesi triennale in Matematica. Marzo 2021.
Sara Lanzarone. Ottica lagrangiana e sue analogie con la geometria non euclidea. Tesi triennale in Matematica. Luglio 2022.
Arianna Magnanti. Formalismo lagrangiano nell'elettromagnetismo classico. Tesi triennale in Matematica. Luglio 2022.
Aurelio Vatteroni. Le equazioni di Maxwell nel linguaggio della Geometria Differenziale. Tesi triennale in Matematica. Settembre 2022.
Emanuela Lalli. Equazione di Bessel e figure di Chladni: il suono reso visibile. Tesi triennale in Matematica. Luglio 2023.
Federico Melileo. Analisi armonica su gruppi abeliani localmente compatti. Tesi triennale in Matematica. Ottobre 2024.
Graziella Venditti. Analogie fra ottica e meccanica nel formalismo lagrangiano. Tesi triennale in Matematica. Marzo 2025.
Daniele Lanciotti. Completezza funzionale di porte logiche nei computer quantistici. Tesi triennale in Fisica. Giugno 2025.
Gabriele Peluso. Topological invariants for 1-dimensional quantum systems with symmetries. Tesi magistrale in Matematica. Giugno 2021.
Margherita Ferrero. Modelli quantistici efficaci per fermioni in campo magnetico. Tesi magistrale in Matematica Applicata. Ottobre 2023.
Angia Lauri. Regolarità Sobolev ottimale per funzioni di Bloch in sistemi quantistici bidimensionali. Tesi magistrale in Matematica Applicata. Ottobre 2023.
Pierfrancesco Martini. Topological transport in flat bands: A mathematical approach. Tesi magistrale in Fisica (relatore: prof. Gianluca Panati). Ottobre 2023.
Carmine Imbriani. Considerazioni topologiche su sistemi quantistici periodici. Tesi magistrale in Matematica. Ottobre 2024.
Gabriele Mazzini. Operatori di Schrödinger magnetici e loro applicazioni al trasporto quantistico. Tesi magistrale in Matematica Applicata. Ottobre 2024.
Gabriele Ciccarello. On the localization properties of time-reversal-symmetric Wannier bases. Tesi magistrale in Fisica (relatore: prof. Gianluca Panati). Ottobre 2024.
Matilde Dorelli. Teorema adiabatico e sue applicazioni alla computazione quantistica. Tesi magistrale in Matematica Applicata. Gennaio 2025.
Roberta De Lazzari. A C∗-algebraic approach to the Quantum Hall Effect: the noncommutative torus and its K0-group. Tesi magistrale in Matematica Applicata. Marzo 2025.
The quantum Hall effect (QHE) [G] is arguably the most prominent example of a topological transport phenomenon: the conductivity of the transverse charge current, produced in response to an applied voltage by a 2D electron gas which is immersed in an external magnetic field, appears to be quantized to an integer value (in appropriate physical units) to an astounding precision. This effect has been first mathematically explained, within the one-body, non-interacting picture of quantum mechanics, by relating this Hall conductivity to the Chern number of a vector bundle which can be constructed from the occupied energy states of the quantum system—hence why this is described as a "topological" phenomenon [M, MP, MM].
Even 40+ years after its discovery, a rigorous mathematical description of the QHE and of similar phenomena poses stimulating challenges, related to the fact that a realistic description of such quantum systems should include interactions among their elementary constituents. While the recent past saw this research line flourish, with many results in this direction being obtained in the context of lattice Hamiltonians [BBDF, MT], the study of many-body, interacting quantum systems in the continuum and in presence of a magnetic field (a prominent feature in the QHE) requires additional investigations. Possible PhD projects would therefore be devoted to the mathematical description of magnetic matter and its (topological) transport properties, by means of generalizations of magnetic perturbation theory [CM, CMM] to many-body systems, or by the justification of non-linear effective equations for its quantum dynamics [FM].
[BBDF] S. Bachmann, A. Bols, W. De Roeck, and M. Fraas. Note on linear response for interacting Hall insulators. In: H. Abdul-Rahman, R. Sims, and A. Young (eds.), Analytic Trends in Mathematical Physics. Vol. 741 in Contemporary Mathematics (American Mathematical Society, Providence, RI, 2020). arXiv:1811.08699
[CM] H. D. Cornean and M. Moscolari. On the magnetic perturbation theory for Chern insulators. arXiv:2503.20763
[CMM] H. D. Cornean, D. Monaco, and M. Moscolari. Parseval frames of exponentially localized magnetic Wannier functions. Commun. Math. Phys. 371 (2019), 1179–1230. arXiv:1704.00932
[FM] M. Ferrero and D. Monaco. Effective quantum dynamics for magnetic fermions. Open Commun. Nonlinear Math. Phys. 4 (2024), 157–187. arXiv:2406.15041
[G] G. M. Graf. Aspects of the integer quantum Hall effect. In: F. Gesztesy, P. Deift, C. Galvez, P. Perry, and W. Schlag (eds.), Spectral Theory and Mathematical Physics: A Festschrift in Honor of Barry Simon’s 60th Birthday. Vol. 76 in Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (American Mathematical Society, Providence, RI, 2007), pp. 429–442.
[M] D. Monaco. Chern and Fu-Kane-Mele invariants as topological obstructions. Chapter 12 in: G. Dell'Antonio and A. Michelangeli (eds.), Advances in Quantum Mechanics: Contemporary Trends and Open Problems. Vol. 18 in Springer INdAM Series (2017). arXiv:1705.06534
[MM] G. Marcelli and D. Monaco. From charge to spin: analogies and differences in quantum transport coefficients. J. Math. Phys. 63 (2022), 072102. arXiv:2203.08044
[MP] D. Monaco and G. Panati. Symmetry and localization in periodic crystals: triviality of Bloch bundles with a fermionic time-reversal symmetry. Acta App. Math. 137 (2015), 185–203. arXiv:1601.02906
[MT] D. Monaco and S. Teufel. Adiabatic currents for interacting electrons on a lattice. Rev. Math. Phys. 31 (2019), 1950009. arXiv:1707.01852