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03/05/2023
Palestrante: Paulo Varandas
Título: A convex analysis approach to variational principles, entropy functions and equilibrium states
Resumo: Throughout the years there have been introduced several notions of entropy to express the topological complexity of a certain dynamical system, group action or even an invariant foliation. A general goal in ergodic theory is to obtain variational principles that relate such topological entropies with the entropy of (invariant) probability measures and, if possible, to construct probability measures which attain the maximum. In this talk I will talk about the recent use of convex analysis to establish general variational principles for pressure functions and to construct some generalized equilibrium states (joint work with A. Bis, M. Carvalho and M. Mendes).
29/03/2023
Palestrante: Cristina Lizana
Título: Dinâmica Parcialmente Hiperbólica e Derivados de Anosov
Resumo: Falaremos brevemente sobre alguns exemplos clássicos de Derivados de Anosov (DA), isto é mapas homotópicos a um difeomorfismo de Anosov, cuja dinâmica é parcialmente hiperbólica. Abordaremos alguns resultados conhecidos relacionados à invariância da entropia e existência (e unicidade) de medidas de máxima entropia para esta classe de difeomorfismos. Finalmente, apresentaremos resultados recentes em colaboração com L. Parra (PUCV) e C. Vásquez (PUCV) para uma classe de DA gerados após uma bifurcação de Hopf introduzidos por [M. Carvalho’93].
30/11/2022
Palestrante: Lorenzo Díaz
Título: Propriedades ergódicas e bifurcações de produtos tortos com hiperbolicidades superpostas (uma abordagem usando a concavidade da dinâmica fibrada).
Resumo: Consideraremos produtos tortos (skew products) cuja dinâmicas nas fibras e dada por funções cóncavas do intervalo e na base 'e um "shift". Estamos interessados no estudo de certos conjuntos localmente maximais (órbitas que permanecem no futuro e no passado em certa região de interesse). Ao projetar na base, estas dinâmicas geram novos tipos de sistemas codificados (coded shifts). A principal propriedade destes sistemas é a superposição na dinâmica fibrada de expansões e contrações. Esta superposição gera (em alguns casos) dinâmicas não hiperbólicas. Consideramos que este tipo de dinâmica é o modelo mais simples e essencial de dinâmica parcialmente hiperbólica.
Além da dinâmica topológica, estudaremos o espaço das medidas ergódicas e a aproximação das medidas não-hiperbólicas (quando existem) por medidas hiperbólicas (contrativas e expansoras na fibra).
Em estudos prévios e em contextos similares, estas aproximações foram obtidas usando "transitividade e misturadores". Nesta palestra veremos como a concavidade da dinâmica fibrada permite um abordagem diferente.
Finalmente, veremos alguns cenários de bifurcação e como as dinâmicas estudadas podem ser "mergulhadas" em famílias a um parámetro com entropía crescente (como acontece no caso crítico unidimensional com a família quadrática).
Esta palestra está relacionada (espero) com a palestra de J. Araujo "Teoria kneading para sistemas iterados de funções unidimensionais" da série "Dinâmica arretada".
Os resultados da palestra foram obtidos em colaboração com K. Gelfert e M. Rams.
28/Setembro/22
Palestrante: Maria José Pacífico (UFRJ)
Título: Uniqueness of equilibrium states for Lorenz attractors in any dimension
Resumo: In this lecture we will consider the thermodynamic formalism for Lorenz attractors of flows in any dimension. Under a smooth condition in the continuous potential function Hölder φ, we prove that for an open and dense subset of C^1 vector fields, each Lorenz attractor supports a unique equilibrium state. To obtain this result, we first review the approach developed by Climenhaga-Thompson to show that continuous expansive flows with a certain non-uniform version of specification and the Bowen property have a unique equilibrium state. Next, we indicate how to extend the Climenhaga-Thompson criterion to flows containing equilibrium points accumulated by regular flow paths to finally obtain the result for geometric Lorenz flows.
This corresponds to a joint work with Fan Yang and Jiagang Yang.
31/Agosto/22
Palestrante: Yuri Lima (UFC).
Título: Decaimento de Correlações de Fluxos Geodésicos.
Resumo: Entender o decaimento de correlações em sistemas dinâmicos é um dos principais problemas da área. Desde a década de 1970, essa pergunta tem sido estudada em diversos contextos, que incluem difeomorfismos, bilhares e fluxos, dentre outros. Nessa palestra, discutiremos esse tópico no contexto de fluxos geodésicos, e apresentaremos um resultado em colaboração com Carlos Matheus e Ian Melbourne que prova decaimento polinomial de correlações para o fluxo geodésico de uma classe de superfícies de curvatura não-positiva.
29/Junho/22
Palestrante: Wagner Ranter (UFAL).
Título: Transitividade robusta para endomorfismos com pontos críticos.
Resumo: Nesta palestra apresentaremos alguns recentes avanços sobre a necessidade de se ter alguma "hiperbolicidade" para existência de endomorfismos C^1 robustamente transitivos.
25/Maio/22
Palestrante: Katrin Gelfert (UFRJ).
Título: Hiperbolicidades mistas: Princípios variacionais restritos.
Resumo: Quantificamos ergodicamente a falta de hiperbolicidade em difeomorfismos não hiperbólicos transitivos. Para isso, investigamos sistemas iterados de difeomorfismos de classe C^1 no círculo. Tal dinâmica captura o mecanismo chave da dinâmica robustamente transitiva e não hiperbólica. Também surge da ação projetiva de certos cociclos de matrizes elípticas 2x2. A coexistência de selas de diferentes tipos de hiperbolicidade é descrita em termos de regiões de contração e expansão de fibras que são misturadas pela dinâmica. Também dá origem a medidas ergódicas não hiperbólicas caracterizadas em termos de um expoente de Lyapunov zero na fibra. Descrevemos a entropia topológica de cada conjunto de pontos de nível com expoente fibra-Lyapunov em termos de um princípio variacional restrito e da transformada de Legendre-Fenchel de uma pressão variacional restrita. Aqui o expoente assume valores negativos e positivos e também valor zero.
Me concentrarei na palestra particularmente no último caso: construímos uma medida ergódica não hiperbólica de alta entropia inspirada em uma técnica de aproximação de órbita periódica de Gorodetski, Ilyashenko, Kleptsyn e Nalski. Depois de Kwietniak e Łącka, essa técnica resulta em medidas ergódicas com entropia zero, enquanto em nosso contexto o conjunto de níveis tem entropia positiva. Muito ingenuamente, aqui as órbitas periódicas são substituídas por ferraduras. Para superar a principal dificuldade de convergência não uniforme das médias de Birkhoff, implementamos uma abordagem probabilística. Este é um trabalho conjunto com L.J.Díaz e M.Rams.
30/Mar/22
Palestrante: Frank Trujillo (University of Zurich).
Título: Problemas inversos na teoria KAM analítica.
Resumo: Segundo a teoria KAM clássica, uma perturbação suficientemente pequena de um sistema hamiltoniano integrável não degenerado admite uma coleção de toros invariantes, cuja dinâmica restrita é conjugada com a de uma rotação por um vetor diofantino. Nesta palestra vamos discutir o seguinte problema inverso: Até que ponto os sistemas perturbados são determinados por suas coleções associadas de toros invariantes? Provaremos que esta coleção caracteriza completamente o Hamiltoniano perturbado e mostraremos algumas implicações dinâmicas em sistemas cujas coleções de toros invariantes possuem algumas características comuns.
23/Fev/22
Palestrante: Ermerson Araujo (UFMA).
Título: Teoria kneading para sistemas iterados de funções unidimensionais.
Resumo: A tentativa de classificar entidades matemáticas em classes que gozam das mesmas propriedades é um problema antigo e interessante. Nesta palestra apresentaremos uma generalização da teoria kneading de Milnor e Thurston para sistemas iterados de funções. Mais especificamente, estudamos uma família F = {f_i: [a_i,b_i] ⊂ R → R : i = 1, . . . , n}, onde cada f_i é estritamente monótona. O objetivo é mostrar que a combinatória de certos pontos determinam completamente a classe de conjugação de F. Este é um trabalho em conjunto com Alex Zamudio.
24/Nov/21
Palestrante: Karina Marin (UFMG)
Título: Continuidade dos expoentes de Lyapunov para cociclos localmente constantes.
Resumo: Nesta palestra apresentaremos resultados sobre a continuidade dos expoentes de Lyapunov na topologia Hölder para cociclos localmente constantes com valores em SL(2,R) definidos sobre um shift de Bernoulli. Em particular, provaremos que o exemplo de descontinuidade de Bocker-Viana não é típico entre os cociclos com expoente de Lyapunov superior suficientemente pequeno. Este é um trabalho em conjunto com Catalina Freijo.
29/Set/21
Palestrante: Thiago Bomfim (UFBA)
Título: Transições de fase termodinâmica e espectral para difeomorfismos locais no círculo.
Resumo: As transições de fase (termodinâmicas), do ponto de vista dos Sistemas Dinâmicos, significam a perda de diferenciabilidade ou analiticidade da pressão topológica como função do potencial. A informação sobre a perda de regularidade da função pressão topológica traz a lume características termodinâmicas do nosso sistema dinâmico. Dos trabalhos de Bowen, Smale e Ruelle, nos anos 70, sabemos que no contexto hiperbólico ou expansor não existe transição de fase para potenciais suficientemente regulares. Por outro lado, existe uma vasta literatura de exemplos de sistemas dinâmicos não hiperbólicos ou expansores em que ocorrem transições de fase para potenciais suficientemente regulares. A despeito disso, um entendimento completo de quais dinâmicas admitem transições de fase permanece fora de alcance.
Nesta palestra, pretendemos apresentar o problema de caracterizar quais dinâmicas suaves admitem transições de fase, tanto do ponto de vista termodinâmico como espectral, com respeito a potenciais suaves. Discutiremos um trabalho em conjunto com Victor Carneiro (UFBA) para o caso de difeomorfismos locais no círculo. Além disso, se o tempo permitir, apresentaremos algumas perspectivas futuras do problema.
25/Ago/21
Palestrante: Mauricio Poletti (UFC)
Título: Continuidade Hölder de expoentes de Lyapunov para cociclos sobre difeomorfismos hiperbólicos
Resumo: Uma pergunta importante no estudo de cociclos lineares é o comportamento dos expoentes de Lyapunov com respeito a variações das dinâmicas que os definem. Em geral, os expoentes não variam continuamente, mas em certos casos isto é verdade, como no produto aleatório de matrizes (Bocker-Viana), cociclos sobre shifts Markovianos (Malheiro-Viana), cociclos sobre difeomorfismos hiperbólicos (Backes-Butler-Brown).
O estudo de continuidade mais fina, como a continuidade Hölder, foi provada genericamente para o caso Bernoulli e para shifts markovianos (Le Page, Duarte-Klein, Tall-Viana). Neste trabalho, em conjunto com Pedro Duarte e Silvius Klein, provamos que genericamente cociclos Hölder "fiber bunched" sobre difeomorfismos hiperbólicos variam Hölder com respeito ao cociclo.
30/Jun/21
Palestrante: Daniel Smania (USP, São Carlos)
Título: Somas de Birkhoff como distribuições
Resumo: Sob condições que são satisfeitas em várias situações (decaimento de correlações suficientemente rápido) podemos considerar somas de Birkhoff como distribuições no sentido de Schwartz (como no estudo de EDPs) e estudar sua regularidade. Faremos este estudo no caso de transformações expansoras por pedaços unidimensionais e alguns outros casos. Este estudo faz intenso uso das propriedades estatísticas dos sistemas dinâmicos em consideração (decaimento de correlações, teorema central do limite). Além de seu interesse intrínseco, este estudo é motivado pela teoria de deformações de sistemas dinâmicos, algo similar à teoria de Teichmuller para superfícies de Riemann compactas, mas em dimensão infinita, que tem aplicações em questões importantes sobre a perturbação de sistema dinâmicos, como o problema de linear response. De fato, em dinâmica unidimensional frequentemente as classes topológicas têm uma estrutura diferenciável, isto é, são variedades de Banach de dimensão infinita, e o estudo de somas de Birkhoff como distribuições tem surpreendentemente um papel importante aqui. Trabalho em conjunto com Clodoaldo Ragazzo (IME-USP), mas também iremos citar vários resultados com Viviane Baladi e Amanda de Lima.
26/Mai/21
Palestrante: Ricardo Bortolotti (UFPE)
Título: Atratores solenodais gordos em dimensão alta
Resumo: Nesta palestra vamos falar sobre um fenômeno em sistemas dinâmicos que consideramos interessante: a existência de atratores hiperbólicos para endomorfismos que admitem uma medida absolutamente contínua invariante (ACIP); em particular tais atratores têm medida positiva e são chamados de atratores gordos. Este fenômeno é surpreendente, pois a existência de ACIP costuma ser associada a transformações com todos os expoentes de Lyapunov positivos (transformações expansoras, não-uniformemente expansoras, etc.).
Tsujii mostrou que esta propriedade ocorre para endomorfismos em superfícies que expandem área e satisfazem uma condição de transversalidade entre as componentes do atrator, e que esta condição geométrica é genérica entre os endomorfismos que expandem área. Ávila-Gouezel-Tsujii demonstraram que a densidade da ACIP é uma função suave.
Em conjunto com Carlos Bocker (UFPB), estudamos atratores em dimensões altas e provamos que o mesmo vale: se a dinâmica satisfaz uma condição de expansão de volume e uma condição geométrica de transversalidade entre as componentes, então o atrator admite uma ACIP. Além disso, em um trabalho em andamento com Bocker (UFPB) e Castro (UFBA) estamos estudando a regularidade e a diferenciabilidade da densidade da ACIP em relação à dinâmica.
30/Abr/21
Palestrante: Enrique Pujals (CUNY, EUA)
Título: Dinâmica e para-dinâmicas
Resumo: É bem sabido que as bifurcações (sejam de pontos periódicos ou de ciclos e heterociclos entre órbitas periódicas) são uns dos mecanismos responsáveis que dão origem a novos fenômenos. Um dos exemplos clássicos é o desdobramento de tangências homoclínicas, responsável pelo hoje em dia conhecido fenômeno de Newhouse (a coexistência de infinitos pontos periódicos atratores para um residual de dinâmicas). Quando são consideradas famílias paramétricas pode se considerar a "velocidade" com a qual essas bifurcações são desdobradas; as "para-bifurcações" não são outra coisa que bifurcações que se "desdobram lentamente".
Mostraremos que, no contexto de famílias paramétricas de endomorfismos bidimensionais, as "para-tangências" são bem comuns, e isto permite provar que existem abertos de famílias genéricas de dinâmicas tais que para todo parâmetro coexiste uma infinidade de atratores. Em particular, mostraremos que isso acontece quando se consideram desdobramentos de biciclos (ciclos que envolvem uma tangência e um heterociclo).
Na palestra, tentaremos explicar quais são as noções e técnicas desenvolvidas: para-tangências, para-blenders, para-heterociclos. No meio desta discussão, tentaremos discorrer a respeito das consequências possíveis das para-bifurcações, se elas podem acontecer frequentemente, e como isto poderia trazer novos cenários dinâmicos.
Isto é parte de um trabalho em conjunto com Pierre Berger e Sylvain Crovisier.
31/Mar/21
Palestrante: Vanessa Ramos (UFMA)
Título: Estados de equilíbrio associados a potenciais hiperbólicos
Resumo: A existência de medidas invariantes que maximizam a energia livre do sistema, denominadas estados de equilíbrio, é um problema variacional que muitas vezes pode ser obtida via argumentos de compacidade. A unicidade e as propriedades do estado de equilíbrio são problemas geralmente mais sutis e requerem um bom entendimento da dinâmica e condições sobre o potencial. Nesta palestra, discutiremos a unicidade de estados de equilíbrio associados a uma classe de skew-products não-uniformemente hiperbólicos e potenciais hiperbólicos. Provaremos que a pressão topológica e o estado de equilíbrio dependem continuamente da dinâmica e do potencial. Por fim, exibiremos uma família de sistemas cuja variação dessas quantidades é analítica em respeito ao potencial.
24/Fev/21
Palestrante: Jana Rodriguez Hertz (Southern University of Science and Technology, China)
Título: New stably ergodic examples in dimension 3
Resumo: A diffeomorphism f is stably ergodic if there is a neighborhood of f where all C^2 diffeomorphisms are ergodic. We conjecture that stable ergodicity is very frequent among "chaotic" diffeomorphisms. This seems to be a rather difficult problem. To provide some evidence to this conjecture, we show new examples of stably ergodic diffeomorphisms in 3-manifolds. In particular, we show that in the isotopy class of each partially hyperbolic diffeomorphism, there is a non-partially hyperbolic stably ergodic diffeomorphism.
27/Jan/21
Palestrante: Davi Lima (UFAL)
Título: A dinâmica dos espectros clássicos de Lagrange e de Markov
Resumo: Nesta palestra, vamos apresentar dois conjuntos que surgiram em Teoria dos Números, ainda no século 19, com o estudo das melhores aproximações de irracionais por racionais e com o estudo dos mínimos, sobre o reticulado Z^2, de formas quadráticas indefinidas. Hoje, os famosos espectros de Lagrange e de Markov ainda apresentam muitos desafios. Daremos na palestra uma generalização dinâmica de tais espectros e mostraremos uma dinâmica suave, um observável e uma sequência de ferraduras que nos permite encontrar os segmentos iniciais de tais espectros. Esperamos convencer a audiência de que há uma clara interseção de áreas, mostrando como aplicamos ideias de dinâmica hiperbólica para o estudo de tais espectros.
25/Nov/20
Palestrante: Carlos Matheus (École Polytechnique, CNRS)
Título: Dinâmica em variedades de caracteres
Resumo: As chamadas variedades de caracteres são objetos algébricos inicialmente introduzidos com o objetivo de classificar estruturas geométricas naturais (tais como superfícies hiperbólicas e/ou de Riemann, fibrados vetoriais, etc.). Do ponto de vista dinâmico, as variedades de caracteres possuem grupos ricos de homeomorfismos exibindo vários tipos de comportamento entre a hiperbolicidade não-uniforme e a quase-periodicidade.
Nesta palestra, vamos ilustrar a riqueza das dinâmicas em variedades de caracteres através de uma discussão detalhada do caso da variedade de SU(2)-caracteres de um toro perfurado.
28/Out/20
Palestrante: Luna Lomonaco (IMPA)
Título: Acoplando mapas quadráticos com o grupo modular
Resumo: Correspondências holomorfas são relações polinomiais P(z,w)=0, que podem ser consideradas mapas multivalorados da esfera de Riemann (cada um definido pelo mapa implícito mandando z em w). A iteração destes mapas multivalorados gera um sistema dinâmico na esfera de Riemann, e generaliza mapas racionais e grupos kleinianos finitamente gerados. Nesta palestra, consideramos uma família específica de (2:2) correspondências holomorfas, introduzidas por S. Bullett e C. Penrose em 1994, e a descrevemos dinamicamente. Em particular, mostramos que para todo parâmetro no lugar de conexidade M_Gamma, esta familia é um acoplamento entre o grupo modular e mapas racionais na família Per_1(1), e mostramos que M_Gamma é homeomorfo ao conjunto de Mandelbrot parabólico M_1. Esse é um trabalho em colaboração com S. Bullett.
30/Set/20 (Palestra Inaugural)
Palestrante: Vítor Araújo (UFBA)
Título: Sobre a convergência exponencial para o equilíbrio em sumidouros hiperbólico-singulares
Resumo: Será apresentada uma estratégia para obter convergência exponencial para o equilíbrio robustamente numa família aberta e densa de campos C^2 com sumidouro hiperbólico-singular.
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