Kalkülüsün sistematik olarak ortaya çıkışı ile birlikte bilim dünyası adeta çağ atladı. Sonsuz küçüklerle yapılabilen hesaplamaların formal olarak verilmesi birçok gelişmenin de önünü açtı. Descartes’in geometriyi cebirsel olarak ifade etmesiyle ortaya çıkan ve hızla gelişen Analitik Geometri metotları ile klasik Öklid geometrisi birçok problemi çözemiyordu. Öklid dışı geometrinin yükselişi sürse de metrik ve aksiyomatik yaklaşımlardan öteye gidemiyordu. Kalkülüsün ortaya çıkışı ile birlikte önce düzlemdeki eğrilerin sonra da yüzeylerin etraflıca incelenmesinin önü açılmış oldu. O zamana kadar doğru parçalarının belirlediği geometrik nesneler artık Öklidyen olmayan düzlem eğrilerinin belirleyici olduğu geometrik objelere genişledi. Buradaki geometriyi incelemeye müsaade eden en önemli gelişme ise eğri teğetlerin cebirsel olarak incelenebilmesiydi.
Bu alanda en büyük adım K. F. Gauss tarafından atıldı. Gauss, eğrilerin geometrisini kalkülüs araçları kullanarak inceledi ve her yüzeyin kendine ait geometrisi olduğunu kanıtladı. Böylece Öklid dışı geometriye farklı bir form kazandırdı. Gauss’un geometriyi kalkülüs ile birleştirerek ortaya koyduğu bu çalışmalar Diferensiyel Geometri’inin başlangıcı oldu. Bu nedenledir ki Gauss diferensiyel geometrinin babası olarak anılır. Gauss’un diferensiyel geometri konusundaki fikirleri esasen onun evren üzerine yaptığı gözlemlerden esinleniyordu. Gauss bununla da yetinmedi ve sahneyi Riemann’a hazırladı. ,
Riemann Gauss’un fikirlerini genelleştirerek manifold kavramını tanımladı. Böylece, diferensiyel geometri düşük boyutlardan yüksek boyutlara, lineer cebirdeki ileri gelişmelerin de katkısı ile büyük bir yol almış oldu. Riemann’ın yaptıkları birçok farklı matematikçi tarafından geliştirilirdi. Riemann, aynı zamanda Öklid dışı geometriler için yeni bir sınıflandırma da ortaya koymuştu. Bu yaklaşım Einstein’in relativite teorisini ifade etmesine vesile oldu ve sonuç olarak Öklid dışı geometrilerin uygulanamayacağı iddiası çürümüş oldu. Bugün geldiğimiz noktada, eğriler, yüzeyler ve genel olarak manifoldların diferensiyel geometrisi hemen her alanda uygulanmaktadır.
Kitap, diferensiyel geometrinin üç temel başlığı olan; manifoldlar, eğriler ve yüzeyleri, detaylı bir şekilde ele almaktadır. Kitapta manifoldlar konusu bir topolojik uzayı manifold yapma ve bir kümeyi manifold yapma şeklinde iki farklı yaklaşımla ele alınmaktadır. Bunlardan biri lisans öğrencilerine hitap ederken diğeri de yüksek lisans ve doktora öğrencilerine hitap etmektedir. Kitapta, önce manifold kavramı verilmesinin amacı okuyucuya genel bir geometrik yapının zihinde oluşturulmasını sağlamaktır.
Diferensiyel Geometri’nin temel direği olan Riemann manifoldunu belirleyen en önemli özellikler; üzerinde tanımlı olan metrik tensör alanı, bu metrikle bağdaşabilir koneksiyon ve manifoldun (Riemann) eğriliğidir. Bu kavramlar çok zahmetli bir matematik hesabı ile elde edilmektedir. Günümüzde bilgisayar programları kullanılarak bu hesaplamalar hızlı bir şekilde yapılabilmektedir. Kitapta bilgisayar programı olarak Mathematica hazır paket yazılımı kullanılmıaktadır. Mathematica hazır paket programında yazdığımız kodlar sayesinde hesaplama sonuçları çok kısa bir süre içinde elde edilmektedir. Kitapta bu konularla ilgili çözümlü örneklere yer verilmektedir. Bu nedenle sadece öğrenciler değil aynı zamanda bu alanda çalışan akademisyenlerde yaptıkları araştırmalarda da bu kitaptan faydalanacaklardır.
Kitapta, bir Riemann manifoldu üzerinde eğriler, yay uzunluğu ve Serret-Frenet vektör alanları ve yüksek mertebeden eğrilik kavramları verilmektedir. Bu kavramlar özele inilerek 2 ve 3- boyutlu Riemann manifoldu olan Öklid uzayında eğriler konusu anlatılmaktadır. Ayrıca konuyla ilgili Mathematica daki uygulamaları çözümlü örneklerle verilmektedir.
Kitapta 2-boyutlu manifoldlar olan soyut yüzeylerden 3-boyutlu Öklid uzayındaki yüzeyler konusuna geçilerek bir yüzeyin birinci ve ikinci temel formu, şekil operatörü, Gauss eğriliği, ortalama eğriliği, asli eğrilik ve asli vektörler örneklerle birlikte verilmektedir. Mathematica da bu kavramlarla iligili yazdığımız kodlar sayesinde hesaplama sonuçları çok kısa bir süre içerisinde elde edilmektedir. Bu hesaplama ile ilgili örnekler kitapta yer almaktadır. Diferensiyel Geometri’nin en meşhur denklemleri olan Gauss ve Codazzi denklemlerinin elde edilmesi, Gauss’un meşhur teoremine de kitapta yer verilmektedir.
Diferensiyel geometri, matematik bölümlerinde okutulmakla birlikte fizik, jeodezi ve fotogrametri, harita, jeoloji, makine, havacılık ve uçak gibi mühendislik bölümlerinde de verilmektedir. Diğer yandan, diferensiyel geometri dersleri birçok alanda lisansüstü seviyesinde okutulmaktadır. Bu kitap, uzun yıllar Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümünde lisans ve lisansüstü düzeyde okuttuğum Diferensiyel Geometri dersi notlarının kitaba bürünmüş halidir. Modernleşen bilimsel yaklaşımların ve değişen öğrenci profillerinin göz önüne alındığı, okunabilirliği yüksek, yeni nesil bir diferensiyel geometri kitabı yazma gayesiyle yola çıktım. Yaklaşık dört yıl süren bir çalışmanın sonucunda kitabı tamamlayarak siz değerli okuyucularla buluşturmanın mutluluğu içerisindeyim.
Kitabın ilk baskısı olduğundan göremediğim hatalar olabilir. Kitabın eksiksiz olarak yenilenmesi için tespit ettiğiniz muhtemel hataları ayselvanli@gmail.com adresine göndermeniz beni mutlu edecektir.
Kitabın hazırlanmasın da emeği olan başta Gazi Üniversitesi Matematik bölümü öğrencilerine, kitabı kontrol eden doktora öğrencim Doç. Dr. İnan ÜNAL’a, kitabın Latex yazılmasında doktora öğrencim Gamze ALKAYA, yüksek lisans öğrencim Sümeyye AKPINAR’a , Mathematica kod yazılımında doktora öğrencimiz Bircan DÖNMEZ’e, kitabın kapak tasarımında yüksek lisans öğrencimiz Furkan SEÇKİN’e ve lisans öğrencimiz Yusuf GÜDÜCÜ’ye yaptıkları yardımdan dolayı çok teşekkür ederim. İlk günden itibaren hiç desteğini esirgemeyen sevgili eşim Ahmet VANLI ve kızım Ayça Nur VANLI’ya şükranlarımı sunarım. Kitabın faydalı olması dileğiyle.
Prof. Dr. Aysel TURGUT VANLI
Gazi Üniversitesi Matematik Bölümü
Ekim 2022