Analisi 2 Ingegneria Aeronautica
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento.
Serie di funzioni: Convergenza uniforme e totale, serie di potenze, serie di Fourier.
Equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità locale; equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee e non omogenee,
metodo di variazione delle costanti, sistemi di equazioni lineari; esponenziale di una matrice.
Funzioni di più variabili; continuità; derivate parziali; massimi e minimi locali, matrice hessiana. Integrazione secondo Riemann;
integrali multipli. Curve e integrali curvilinei; superfici e integrali di superficie. Teorema della divergenza e teorema del rotore.
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica, McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda edizione);
[C] Pietro Caputo, Raccolta di esercizi di Analisi 2, disponibile online;
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Un ulteriore testo a cui fare riferimento per gli esercizi è:
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di analisi matematica due - Volumi 1 e 2, Zanichelli, Milano, 2017.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta e in un successivo colloquio orale.
Il superamento della prova scritta (con voto ≥17) consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico.
Orario delle lezioni:
Mercoledi 12-14, Giovedi 14-16,
Mercoledi 20 Settembre. Ripasso delle serie numeriche. le serie di Funzioni, convergenza puntuale e totale. [BDg] sez. 9.5.3
Giovedi 21. Ancora su convergenza puntuale e totale. integrazione e derivazione termine a termine. Lezione2. ConvergenzaTotEsempi.pdf
Mercoledi 27. Le serie di potenze, raggio di convergenza, derivazione e integrazione. La serie di Taylor. Esempio di funzione Cinfinito NON analitica. Lezione3 Serie di Potenze.pdf [BDG] sez. 9.3
Giovedi 28. Applicazioni ed esercizi sulle serie di potenze.
Mercoledi 4. Ottobre La serie di Fourier. Definizioni Lezione4_Fourier.pdf [BDG] sez. 20.1
Giovedi 5. La serie di Fourier. Esempi di calcolo della serie. Lezione5_schemaFourier.pdf
Mercoledi 11. Equazioni differenziali. Equazioni del I ordine in forma normale. Teorema di esistenza e unicità locale. Lezione6_Equazioni Differenziali.pdf
[BDG] sez. 17.2
Giovedi 12. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di esistenza e unicità. Lezione7_ODE_P1.pdf [BDG] sez. 17.2
Mercoledi 18. Esempi ed esercizi.
Giovedi 19. Equazioni lineari omogenee e non omogenee, il metodo di variazione di costanti. Lezione8_ODE_p2.pdf [BDG] sez. 17.3
Mercoledi 25. Equazioni lineari omogenee e non omogenee, il metodo "simpatia". [BDG] sez. 17.1
Giovedi 26 Equazioni vettoriali del I ordine lineari omogenee. Risoluzione a mano.
Giovedi 2 Novembre. Equazioni vettoriali del I ordine lineari omogenee. L'esponenziale di matrice. Matrici diagonali e matrici nilpotenti.
Mercoledi 8. L'esponenziale di matrice. Matrici diagonalizzabili sui reali. Matrici con autovalori complessi (a Id + b J). Caso lineare non omogeneo, la formula di variazione di costanti. Lezione9_ExpMatrice.pdf (Gentile Capitolo 1. link)
Giovedi 9 Equazioni del II ordine a coefficienti costanti, scrittura in forma vettoriale. Polinomio caratteristico e ricerca di soluzioni.
Caso non-omogeneo, il metodo simpatia.
Mercoledi 15. Ancora sulle soluzioni di equazioni del II ordine a coefficienti non costanti. [BDG] sez. 17.3
Giovedi 16 Funzioni da R in R^2 o R^3. Le curve parametriche. Curve regolari. La lunghezza di una curva. [BDG] sez. 12.1-12.2
Mercoledi 22. Funzioni da R^2 in R. Dominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafico di funzioni lineari. Paraboloide ellittico e iperbolico. Definizione di intorno in R^2. Definizione di limite. Continuità. Lezione10_limiti2variabili.pdf
Giovedi 23 Proprieta dei limiti. Il criterio del confronto e il teorema dei carabinieri. Le coordinate polari. [BDG] cap 10
Mercoledi 29 Le derivate parziali, il gradiente e la differenziabilità. Funzioni C^1. Il teorema del differenziale totale. [BDG] Sez 11.1-11.2. e 11.2.1, Lezione11_FunzioniRadiali_Differenziabilita_punticritici.pdf
Giovedi 30. Derivata della funzione composta. Derivate direzionali. Punti critici. La matrice hessiana e il lemma di Schwartz. Funzioni C^2. Rappresentazione di un polinomio quadratico tramite una matrice simmetrica (esercizio per casa) Lezione12/13/14_derivatafunzionecomposta_maxMin_Lagrange.pdf
[BDG] Sez 11.3-11.6
Mercoledi 6 Dicembre. La formula di Taylor all'ordine 2, determinazione della natura dei punti critici di una funzione C^2 dagli autovalori della matrice Hessiana. Come studiare il caso di autovalori nulli.
Giovedi 7. Massimi e minimi vincolati a una curva chiusa e limitata. Condizione geometrica. Caso di una curva parametrica.Vincolo descritto da h(x,y)=0. Massimi e minimi in una regione della forma h(x,y)<= 0. [BDG] sez. 13.2
Martedi 12. Esercizi sui massimi e minimi vincolati. Determinazione di domini della forma h(x,y)<= 0. I domini normali.
Mercoledi 13. Integrazione di una funzione continua su un dominio normale. Esercizi ed esempi. Lezione14/15_Integrazione in r2.pdf [BDG] sez. 14.1-14.2
Giovedi 14. Formule di cambio di coordinate. Le coordinate polari. [BDG] sez. 14.3
Lunedi 18 Esercizi ed esempi. Cambi di coordinate lineari.
Mercoledi 20. Integrazione sulle curve. Esercizi ed esempi [BDG] sez. 12.3
Giovedi 21. Campi vettoriali e lavoro lungo una curva. [BDG] sez. 12.4. Campi conservativi. L'integrale di un campo conservativo non dipende dal cammino. Caratterizzazione dei campi conservativi. Campi irrotazionali. Un campo irrotazionale definito su un rettangolo e' conservativo. Flusso di un campo vettoriale del piano attraverso una curva). Lezione16_lavoro_flusso.pdf
(extra: il teorema di Stokes e il teorema della Divergenza)