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Programma di Massima del Corso:
Parte 1: Integrale di Lebesgue in R^n Definizione delle funzioni L^1. Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou). Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer) Integrali iterati e teorema di Fubini. Funzioni misurabili e misura di Lebesgue. Convoluzione e regolarizzazione.
Parte 2: Trasformata di Fourier in L^1. Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n) Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz. Distribuzioni temperate.
Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof); dipendenza Lipschitz dai dati iniziali. Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità. Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville. Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale; Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni). Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri. Introduzione all’analisi qualitativa. Spazio delle fasi. Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).
Modalita di esame:
L'esame consiste in una prova scritta ed un colloquio orale. Gli studenti che hanno seguito il corso devono anche consegnare una serie di esercizi assegnati in classe (per chi non abbia seguito il corso, per favore contattatemi per farvi assegnare degli esercizi sulla teoria della misura astratta).
Il superamento della prova scritta (con voto ≥17) consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico.
Per il colloquio orale: Mi aspetto che voi abbiate una visione generale di tutto il materiale presentato e che scegliate degli argomenti specifici su cui volete incentrare il colloquio.
Testi consigliati:
[RN] Riesz, F et B.Sz. Nagy: Lecons d'analyse fonctionnelle, Gauthier-Villars/Akademiai Kiado, 1955.
[Ch97] L. Chierchia: Lezioni di analisi matematica 2, Aracne Ed, 1997 (Cap. 9)
[Tao] T. Tao, An introduction to measure theory (si trova facilmente il pdf in rete)
[DMcK] H. Dym [and] H. P. McKean: Fourier series and integrals. New York, Academic Press, 1972.
[Ch23] L. Chierchia Appunti su equazioni differenziali ordinarie
[AA] Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti: Differential Equations A first course on ODE and a brief introduction to PDE Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI
[D] B. Demidovich Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010
potete trovare esercizi nei siti degli anni precedenti, AM300, e nell'archivio della didattica interattiva (il corso da guardare e' AM4)
Compiti di Esame:
Compiti: preappello, 1appello, 2appello
Orario delle lezioni:
Lunedi e Giovedi: 16-18, Martedi 9-11
Schema delle Lezioni:
Teoria della misura (dal libro di Tao)
Lunedi 23 sett. Misura di Peano-Jordan: insiemi elementari, misura esterna e misura interna. Appunti
Giovedi 21. Proprieta della misura esterna. Definizione di insieme misurabile.
Martedi 26. Misurabilita dei rettangoli e degli aperti. Un insieme PJ misurabile e' misurabile. Appunti
Mercoledi 27. Approssimazione con aperti e con chiusi. Definizione di funzione misurabile Appunti
Giovedi 28. Il teorema di Lebesgue-Vitali (E. Haus)
Dagli appunti di Paolo Acquistapace (unipi)
Martedi 3. Proprieta' delle funzioni misurabili non negative. Caratterizzazione tramite limite di funzioni semplici.
Mercoledi 4. Definizione di integrale di Lebesgue. Teoremi di convergenza per funzioni positive. Teorema di Beppo Levi. Lemma di Fatou. Appunti
Giovedi 5. Relazione fra integrale di Riemann e di Lebesgue. Teorema della convergenza dominata. Appunti
Martedi 10. Misura di Lebesgue sugli spazi prodotto. Teorema di Tonelli e di Fubini. Appunti
Mercoledi 11. Cambi di variabile nell'integrazione (uno schema della dimostrazione). Lo spazio di Banach L1 e il Teorema di Rietz-Fischer.
Giovedi 12. Legame fra integrale improprio e integrale di Lebesgue. Esercizi di passaggio al limite Appunti
Raccolta Appunti sulla prima parte
Martedi 17. Gli spazi Lp, proprietà di base.
Mercoledi 18. Teoremi di densità. Appunti
Giovedi 19. Convoluzione e regolarizzazione. ancora sui teoremi di densità. Appunti
(Dal Reed e Simon- si puo vedere anche qui)
Martedi 24. La trasformata di Fourier in L1. Appunti
Mercoledi 25. Lo spazio di Schwartz.
Giovedi 26 Il teorema di inversione sugli spazi di Schwartz.
Martedi 31 Il teorema di inversione sugli spazi di Schwartz.
Giovedi 2. Esercizi ed applicazioni della trasformata di Fourier Appunti
Martedi 7
Mercoledi 8
Giovedi 9
Martedi 14 Lo spazio delle distribuzioni temperate Estensione di operatori su S' per dualità. La trasformata di Fourier su S'.
Mercoledi 15 Il teorema di Plancherel sullo spazio L_2(cenni di dimostrazione)
Giovedi 16. Esercizi sulla trasformata di Fourier su S'. Appunti
Dalle dispense di Chierchia sulle ODE
Martedi 21. Equazioni differenziali. Definizioni. Equazioni in forma normale. Definizioni e proprietà delle orbite. Appunti
Mercoledi 22. Il teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamenti. I' intervallo massimale di esistenza e unicità. Appunti
Giovedi 23. Teorema di fuga dai compatti. Il lemma di Gronwall (versione integrale e differenziale) Appunti
Martedi 28. Ancora sul lemma di Gronwall. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Mercoledi 29. Il teorema del confronto. Metodi per stimare I_max. Appunti
Giovedi 30. Esercizi di analisi qualitativa.
Martedi 5. Analisi non lineare su uno spazio di Banach. Differenziabilità. Il teorema della funzione implicita. Appunti
Mercoledi 6. Applicazioni del TFI alle ODE Appunti
Giovedi 7. Dipendenza C^r dai dati iniziali Appunti
Martedi 12. Esercizi e applicazioni
Mercoledi 13 Esercizi e applicazioni
Giovedi 14 Teorema di Rettificazione Appunti
Martedi 19. Esercizi e applicazioni
Mercoledi 20. Esercizi e applicazioni
Giovedi 21. Esercizi