Il programma del corso di Analisi di Fourier e teoria del potenziale consiste nella trattazione dei seguenti argomenti.
1. Analisi di Fourier
Richiami su spazi Lp, prodotto di convoluzione e approssimanti l’unità, trasformata di Fourier, spazio di Schwartz e distribuzioni temperate. Operatori deboli (p,q). Teorema di interpolazione di Marcinkiewicz. Funzione massimale di Hardy-Littlewood. Funzione massimale diadica. Decomposizione di Calderón-Zygmund. Nuclei di Poisson, P.V. 1/x, trasformata di Hilbert. Teorema di Riesz-Kolmogorov. Moltiplicatori. Operatori integrali singolari. Trasformata di Fourier di P.V. Ω(x)/|x|n. Metodo delle rotazioni. Trasformate di Riesz. Potenziale di Riesz, potenziale di Bessel, spazi di Sobolev frazionari. Teorema di Hardy-Littlewood-Sobolev e immersioni di Sobolev. Teorema di Calderón-Zygmund. Operatori pseudo-differenziali. Spazi reali di Hardy Hp, decomposizione atomica, spazio BMO, operatori su spazi di Hardy e BMO. Disuguaglianze con pesi A1 e Ap. Teorema di estrapolazione. Decomposizione di Paley-Littlewood. Teoremi per moltiplicatori di Mikhlin-Hörmander. Risultati sui moltiplicatori dipendenti da un parametro e applicazioni alle equazioni di evoluzione.
2. Analisi su gruppi di Lie omogenei
Gruppi di Lie omogenei e Sublaplaciani. Il Gruppo di Heisenberg e il Laplaciano di Kohn. Norme omogenee. Misure di Haar. Convoluzione sui gruppi. Spazi Lp-deboli e disuguaglianze funzionali. La soluzione fondamentale per i Sublaplaciani. Formule di rappresentazione. Principio del massimo. Teorema di Hardy-Littlewood Sobolev per i Sublaplaciani.
Il corso di Analisi di Fourier e teoria del potenziale è basato sui testi di seguito riportati, integrati con una selezione di articoli di ricerca che saranno proposti durante il corso.
J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Vol 29, AMS, 2000.
M.R. Ebert, M. Reissig, Methods for Partial Differential Equations, Birkhäuser Basel, 2018.
E' requisito indispensabile conoscere le proprietà della misura di Lebesgue e degli spazi Lp. In generale, è fortemente consigliato aver seguito il corso di Istituzioni di Analisi Superiore 1.
E' necessario conoscere le proprietà del prodotto di convoluzione, della trasformata di Forier e delle distribuzioni temperate (se necessario, rivolgersi al docente per una introduzione sintetica a questi argomenti). In generale, è auspicabile aver seguito il corso di Istituzioni di Analisi Superiore 2.