MATEMATICAS DISCRETAS

UNIDAD I

Introducción a la teoria de conjuntos y números

UNIDAD II

Lógica matemática

Conjuntos

Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.

Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos de los que consta entre llaves.

A={10,11,12,13,14,15}

O implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado está o no en el conjunto.

A={números naturales del 10 al 15}.

Conceptos Básicos

Relaciones binarias llamadas así por la relacion R existiendo entre los elementos a y b, de dos conjuntos A y claro B.

En estos términos, decimos que el dominio vendría siendo el conjunto de valores de la entrada

El rango ( imagen) es el conjunto de valores de la salida de la función.

El condominio es el conjunto que contiene al rango de la función.

Una herramienta que es muy utilizada al momento de lograr estudiar las funciones son las famosas graficas.

Una forma de poder lograr obtener una grafica de una función es con la tabulación mediante algunos puntos y luego uniéndolos sucesivamente.

Ejemplo:

f(x)= x + 3

Operaciones entre conjuntos

Unión:

Se puede crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a A o a B. Se lee: A unido con B o A unión B, tal que la unión entre estos conjuntos deba cumplir la siguiente condición matemática:

A ∪ B ={x ∈ U| x ∈ A ∨ x ∈ B}

Intersección:

La intersección de dos conjuntos A y B esta definido como aquel conjunto representado por los elementos comunes entre A y B.Se lee: A intersección B y debe cumplir la siguiente condición:

A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}

Diferencia:

La diferencia de dos conjuntos A y B esta definido como el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B, esta denotado como A–B y simbólicamente:

A – B ={x| x ∈ A ∧ x ∉ B}

Diferencia Simétrica:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B simbolizado por A△B se define como la unión de los conjuntos diferencia A–B y B–A, formalmente se representa así:

A △ B =(A – B) ∪ (B – A)

(Ciencias Básicas, 2020)

Complemento:

Decimos que el complemento de A es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U, que no pertenecen al conjunto A. Es común usar los símbolos A^C o A^’para representar el complemento del conjunto.(GCFGlobal.org, 2013)

Diagrama de Venn

Son representaciones gráficas que permiten mostrar la agrupación de cosas en forma de conjuntos, y sus relaciones.

Es eficiente para mostrar sistemas de clasificación en donde los elementos no son mutuamente excluyentes en cuanto a las categorías a las que pertenece; es decir, que los elementos pueden pertenecer a varias categorías al mismo tiempo.

Un diagrama de Venn tiene cuatro funciones principales:

Identificar los diferentes conjuntos de elementos que existen en el universo.
Identificar a qué conjunto pertenece cada uno de los elementos.
Conocer que elementos pertenecen a dos o más conjuntos al mismo tiempo.
Conocer qué elementos no pertenecen a ningún conjunto del universo.

Reglas de composición

El universo se representa en forma de rectángulo y todos los elementos gráficos del diagrama deberán encontrarse dentro de él.

Los conjuntos se representan en forma de círculo u óvalos.

Los elementos se representan textualmente, en cualquier parte del universo:

a. Si están dentro de un conjunto, quiere decir que forman parte de él.

b. Si están fuera, quiere decir que no forman parte de él.

(Eugénia Graça Martins 2014)

Producto cartesiano

Es la relación de los elementos de un conjunto con los otros elementos de otro conjunto.

Relacion Binaria

Una relación binaria es definida generalmente como R donde X e Y son conjuntos arbitrarios y G es un subconjunto del producto cartesiano X Y. Los conjuntos X e Y son llamados dominios y codominios, respectivamente de la relación, y pues G es la famosa grafica.

Relaciones

Llamado RELACION para asignar un elemento único de un conjunto con otro elemento único de otro conjunto expresado entre pares ordenados del tipo

(x, y), (y, x), (x, x).

Teniendo 2 conjuntos, A y B estos vendrían siendo parte del producto cartesiano. Una relación es un subconjunto de un conjunto por pares ordenados y que son de acuerdo a una condición.

Ejemplo: A = {w, x, y ,z}

R = {(x, y), (y, x), (y, y). (y, z), (z, y)}

Las RELACIONES presentan unas características muy peculiares y los comportamientos con sus elementos que le permiten clasificarse de la siguiente manera:

Reflexiva, Simétrica y Transitiva.

Variable independiente

Equivalen a ciertos insumos o en este caso entradas de una función (a veces también llamadas con el nombre de argumentos).

Variable dependiente

Son las salidas de la función , o también ya conocidas con el nombre de imágenes.

Funciones

Una función es una regla que esta asociada a unos elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B de tal modo que el elemento A se asocia con uno y solo un elemento del segundo conjunto. Creando así una función que transforma los elementos en otros elementos y cada uno de los elementos también puede llegar a cambiar en un único elemento, no en dos o tres.

Función Inyectiva:

A una función en la que a cualquiera par de elementos diferentes del dominio les corresponde imágenes diferentes se le llama función inyectiva (significa uno a uno)

Función Suprayectiva:

Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva

Función Biyectiva:

Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama Biyectiva.

Matemáticas discretas

Inducción Matemática

La inducción matemática es un método de prueba que puede demostrar un teorema que depende de una variable n que toma una cantidad infinita de valores enteros no negativos, es decir, un número natural (N). (VÉLez, 2019)

Video:

lasmatematicas.es. (2019, 29 septiembre). El principio de inducción matemática. [Archivo de Video] Youtube.https://youtu.be/w1xKj05urb4

Dentro de la inducción matemática es posible promover que ocurra algo como respuesta a una acción.

Por medio de Premisas (Una declaración o proceso de razonamiento que apoya un argumento para llegar a una conclusión) se lleva a cabo un razonamiento inductivo para declarar las demostraciones de la declaración de la lógica matemática muy usada en la teoría de la computación.

Sistemas SED. (2020, 4 junio). Solución de problemas por razonamiento inductivo [Archivo video] YouTube. https://youtu.be/xG4AZFnOm-g

Sistemas SED. (2020, 4 junio). Razonamiento deductivo [Archivo video] YouTube. https://youtu.be/epYvSgmGq90

Bases del razonamiento en matemáticas discretas

Como una pequeña introducción a lo que consiste cada base te invitamos a revisar el apartado de "Material de apoyo" donde podrás encontrar videos realizados que podrán servirte para comprender cada una. (Principio de inducción y del buen orden).

Principio de conteo

El principio básico de conteo (también llamado regla de conteo) es un método para calcular el número de resultados en problemas de probabilidad. (Esquivar, Y. 2008).

Un principio básico de conteo es que, si hay p formas de hacer una cosa y q formas de hacer otra, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas.

Video:

Academia Internet (2018, 14 mayo). Técnicas de conteo, principio de la suma, principio de la multiplicación [Archivo video] YouTube. https://youtu.be/u6qc-hglUcg

Regla de la suma

Suponga que un evento E puede ocurrir de M formas distintas y existe otro evento F que puede ocurrir de N formas distintas pero ambos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea, entonces el número de formas en que puede ocurrir es E OR F -> (M+n)

Video:

Leonardo Ignacio Martínez Sandoval. ( 2013, 29 enero). 03 Regla de la Suma [Archivo video] YouTube. https://youtu.be/FBprHhimUFk

La regla de suma de conteo es una de las herramientas básicas. Consiste en dividir los objetos a contar en categorías para que no se repitan los objetos y se cuenten todos. agregar la opción al final (Martinez, 2013)

Regla del Producto

Suponga que un evento E ocurre de m formas y un evento F ocurre de n formas, entonces el numero de formas en que E ocurre seguido de F (o viceversa) es m por n.

E → m formas

F → n formas

E and F → m . n

La regla del producto es el segundo principio fundamental para contar además de la regla de la suma. Nos permite contar cosas en las cuales tenemos que hacer varias elecciones que luego son compatibles.

Para contar algo se tienen que hacer decisiones compatibles, es decir, primero se tiene que hacer algo y luego otra cosa y luego otra cosa y todas esas posibilidades pueden suceder al mismo tiempo.

(2013, 3 febrero Leonardo Martínez)

https://www.youtube.com/watch?v=Vh4Y6BxcZ_k&t=23s

Leonardo Ignacio Martínez Sandoval. (2013, 3 febrero). 05 Regla del Producto

[Archivo video] YouTube

Combinaciones

Si en un conjunto se requiere agrupar sus elementos para formar subconjuntos entonces se trata de una combinación. Todos los subconjuntos deben de ser del mismo tamaño (r) siendo n el tamaño del conjunto original. El numero de posibles combinaciones es:

nr = (r=n!/r!(n-r)!

donde n → tamaño del conjunto original

r → tamaño de los subconjuntos

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

n! n(n-1)(n-2)(n-3)...1 , n ≥ 2 → condición general

1! = 1 , n = 1 → Condiciones de paradas

0! = 1 , n = 0

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

(Diccionario de Matemáticas, Superprof. (sin fecha))

https://www.youtube.com/watch?v=YxVXA-t3Fgo

PassltEDU.(2013, 22 diciembre) Matemáticas Discretas - Combinatoria.

[Archivo video] YouTube

Permutaciones

La permutación es un cálculo matemático del número de formas en que se puede organizar un conjunto particular, donde es importante el orden de la disposición. La fórmula para una permutación viene dada por:

_nP_r = n (n – 1) (n – 2) … (n – r + 1) = n!/(n – r)!

dónde:
n = total de artículos en el conjunto
r = elementos tomados para la permutación
«!» denota factorial. (admin, 2020)

Permutaciones sin repetición

Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por P_n.

Para construir las permutaciones sin repetición de un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. Se trata entonces de hacer lo mismo que se ha hecho con las variaciones sin repetición de orden n a partir de un conjunto de n elementos. (Educacion.es, 2022)

Permutaciones con repetición

La permutación con repetición, se usa cuando en un total de “n” elementos, el primero se repite “a” veces, el segundo “b” veces, el tercero “c” veces…
La fórmula para calcular el número de permutaciones u ordenamientos es la anterior.

Donde:

n = a+b+c

Hay tres condiciones en la permutación con repetición:

Importa el orden.
Hay elementos repetidos.
Participan todos los elementos en los ordenamientos. (MateMovil, 2018)

UNIDAD II

LÓGICA MATEMÁTICA

Lógica matemática

Es un tipo de estudio formal y de manera simbólica de la lógica que comprende la aplicación de una serie de técnicas para la construcción y el desarrollo de las matemáticas y al mismo tiempo del razonamiento, , brinda una serie de reglas para poder determinar con ellas si un argumento es válido o no.

En la lógica matemática se utiliza el razonamiento lógico para poder así demostrar teoremas. Es una ciencia que se encarga de estudiar entonces la forma del razonamiento por medio de una serie de reglas y técnicas con las cuales se pueden inferir resultados matemáticos que luego serán aplicados en diferentes tipos de investigaciones.

Características de la lógica matemática

Se conoce también con los nombres de lógica simbólica, lógica teorética o logística.

Se encarga de estudiar la inferencia por medio de la construcción de sistemas formales.

Por lo general, se divide en cuatro diferentes áreas las cuales son: la teoría de modelos, teoría de conjuntos, teoría de la demostración y por último, la teoría de la computabilidad.

Está estrechamente relacionada con las ciencias afines con la computación.

Puede también estudiar los conceptos de nociones y objetos matemáticos básicos.

No tiene la capacidad de hacer estudios sobre el razonamiento humano.

¿Para qué sirve la lógica matemática?

La lógica matemática es un método de razonamiento que sirve para poder contar con reglas y técnicas adecuadas para así poder conocer si un argumento que ha sido proporcionado tiene validez o no. En el campo de las matemáticas, la lógica sirve principalmente para poder demostrar los teoremas. Se puede decir que su principal objetivo es el poder realizar cuestionamientos sobre los conceptos y las reglas que han sido establecidas en el campo de la deducción y que se utilizan en el campo matemático para construir la lógica.

Lenguaje Natural

El lenguaje habitual empleado dentro de una comunidad que comparte el mismo idioma se denomina lenguaje natural. Es con éste con el que argumentamos y llevamos a cabo los desarrollos lógicos habituales. Sin embargo, a la hora de analizar un razonamiento partiendo de éste nos encontramos con serias dificultades; el lenguaje natural contiene numerosas lagunas y ambigüedades, esto impide la aplicación de un análisis lógico riguroso a partir del mismo.

Lenguaje Formal

Un lenguaje formal es un lenguaje artificial que, a diferencia de los lenguajes naturales, no está centrado en la comunicación humana habitual, sino en la definición y aplicación de una serie de reglas específicas en un entorno específico. Consta de una serie de símbolos básicos, que se combinan en cadenas para formar expresiones complejas.

Los símbolos constituyen el alfabeto de un lenguaje formal, mientras que las cadenas son las palabras. Tanto la combinación de los símbolos como la interpretación de las cadenas se realiza de acuerdo con reglas rigurosas, establecidas de antemano, que no admiten excepciones; en conjunto, estas reglas conforman la gramática del lenguaje.

Frente a la creatividad y complejidad del lenguaje natural, que permiten su uso en las más diversas situaciones, los lenguajes formales han sido diseñados para ser utilizados en contextos muy precisos. Su campo de aplicación incluye la lógica, las matemáticas, la informática y la lingüística.

Lógica Proposicional

Otra forma de verificar si dos proposiciones son lógicamente equivalentes es aplicando las leyes de lógica. Las leyes de lógica son muy útiles para simplificar una proposición. Solo para cualquier proposición lógica p, q y r.

Proposiciones atómicas

Por una proposición atómica o simple se entiende al menos los siguientes tres casos:

una proposición predicativa que no puede descomponerse en otra proposición predicativa.
una proposición cuya forma lógica sea: p, puede formalizar.
un contenido expresado por una oración afirmativa cuya estructura sólo incluye un sujeto, una cúpula gramatical y un predicado. (Sems.gob.mx, 2014)

Proposiciones moleculares

Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación ‘no’ se llaman negativas. (Primera parte LÓGICA DE PROPOSICIONES, n.d.)

Conectores lógicos:

Los conectores lógicos son palabras o expresiones que sirven para relacionar las ideas dentro de un texto. En ese sentido, su presencia es fundamental para que un texto sea mucho más que un conjunto de oraciones independientes y autónomas. La claridad de la argumentación de un texto depende principalmente del uso adecuado de los conectores; un conector lógico mal utilizado puede cambiar completamente el sentido del texto. Uno de los errores más comunes en la escritura académica es el de creer que entre más conectores lógicos tenga un texto, mejor. Esto es falso, un texto tiene que tener los conectores apenas necesarios para relacionar las ideas en la forma en que estas se quieren presentar.

Tipos de conectores lógicos

Los conectores discursivos se clasifican de acuerdo al sentido que introducen en el texto o a la función que cumplen en él, de la siguiente manera:

· Conectores coordinantes. Permiten conducir al lector dentro del texto, detallando el sentido de lo que lee y sirviendo de puente entre una idea y la siguiente. Por ejemplo: a continuación, por si fuera poco, en otro orden de ideas.
· Conectores disyuntivos. Proponen separaciones o contradicciones entre las ideas presentadas en un texto. Por ejemplo: contrariamente, por otro lado, en cambio.
· Conectores causales. Introducen una relación de causa y efecto, o una razón de ser, de lo que se expone en el texto. Por ejemplo: de modo que, por consiguiente, de esa manera.
· Conectores temporales. Proponen una relación temporal, o sea, cronológica, de las ideas, diciendo qué ocurre primero y qué después. Así, pueden ser de anterioridad (por ejemplo: hace tiempo, érase una vez), simultaneidad (por ejemplo: a la vez, a la par, simultáneamente) o posterioridad (posteriormente, finalmente, entonces).
· Conectores locativos. Definen dentro del texto un lugar de referencia, una ubicación especial o temporo-espacial. Por ejemplo: por debajo de, allí, encima de.
· Conectores aditivos. Aquellos que “suman” ideas, o sea, las acumulan, para ganar intensidad en el decir. Por ejemplo: asimismo, por si fuera poco, de la misma manera.
· Conectores aclarativos. Cumplen con insistir o aclarar un punto previo, retomándolo o añadiendo nuevos matices para alcanzar el sentido deseado. Por ejemplo: dicho de otro modo, esto quiere decir, más precisamente.
· Conectores comparativos. Permiten introducir contrastes dentro de la exposición, cotejando algo con otra cosa, o sea, comparando elementos. Por ejemplo: de modo similar, en cambio, contrariamente a.
· Conectores conclusivos. Introducen una sensación de cierre o término de la exposición, o al menos de un apartado de la misma. Por ejemplo: en resumen, en síntesis, finalmente.
· Conectores condicionales. Establecen una relación de condicionalidad, o sea, de que una idea depende de otra cosa previa o posterior en el discurso. Por ejemplo: siempre que, en caso de que, a no ser que.
· Conectores continuativos. Permiten alargar una secuencia de ideas, añadiendo elementos o continuando una exposición que se vio previamente interrumpida. Por ejemplo: Retomando lo dicho, o sea, volviendo a, en otras palabras.

Operadores lógicos

Los datos numéricos, los datos de serie y el valor nulo pueden funcionar como datos lógicos. Los datos numéricos y de serie pueden tener el valor lógico verdadero o falso. El valor numérico 0 (cero) es falso; todos los demás valores numéricos son verdaderos. Los datos de serie de caracteres que no son una serie vacía son verdaderos; una serie vacía es falsa. El valor nulo no es verdadero ni falso. Tiene el valor lógico especial nulo.Los operadores lógicos realizan pruebas en expresiones lógicas. Las expresiones lógicas que se evalúan como cero o una serie vacía son falsas. Las expresiones lógicas que se evalúan como valor nulo son nulas. Las expresiones que se evalúan como cualquier otro valor son verdaderas.

Los operadores lógicos de InfoSphere DataStage BASIC son:

· AND (o el equivalente &)
· OR (¡o el equivalente!)
· NOT

La función NOT invierte un valor lógico.

EstalinJRM(6 Enero 2021)

Valoración y equivalencia

Equivalencia lógica: Si dos expresiones lógicas producen el mismo resultado al realizar la valoración entonces se trata de expresiones equivalentes. Con esto quiere decir que si terminan en una tautología entonces son equivalentes. Se pueden evaluar dos expresiones uniéndolas con el operador ↔.

Si termina en cualquier otro resultado que no termine en una tautología entonces no son equivalentes las expresiones.

Cálculo de deducción natural

La deducción natural consiste en aplicar un conjunto de reglas de inferencia a un conjunto de premisas paso a paso hasta llegar a una conclusión. De esta forma, podemos evitar los problemas que aquejan a los sistemas de verificación de inferencias basados en tablas de verdad. (Madronita, 2018)

Preposiciones categóricas: Son proposiciones que hacen afirmaciones incondicionales. Su forma general implica que exista un cuantificador, un sujeto, un verbo o copula y un predicado.

Cuantificador: determina si la proposición se refiere a todos, algunos, uno, o ninguno de los elementos del conjunto.
Sujeto: Conjunto o subconjunto del que trata la proposición
Copula: verbo que describe la acción que hace el sujeto y lo califica.
Predicado: lo que se afirma o se niega del sujeto.

INFERENCIA

Un razonamiento o inferencia es una proposición condicional de la forma p1 ʌ p2 ʌ p3 ʌ p4 ʌ…. ʌ pk → Q, donde P: son proposiciones.

PASOS PARA LA FORULACION DE INFERENCIAS:

1.- ordenar la inferencia observando el orden premisa-condición.

2.- escribir una formula lógica empleando conectores validos

3.- hallar una formula bien formada (FBF) sustituyendo cada variable atómica por una variable proposicional.

4.- Construir la formula condicional p1 ʌ p2 ʌ p3 ʌ p4 ʌ…. ʌ pk → Q.

REGLAS DE LA FORMULA BIEN FORMADA:

1.- Toda la variable proposicional es una FBF

2.- si P es una FBF entonces ~P también lo es

3.- si P y Q son FBF, todas las operaciones lógicas: p v q, p ʌ q, p↔q, p↔q, también son FBF

4.- una expresión o formula lógica es una FBF si sigue las 3 primeras reglas

5.- una expresión o formula lógica es una FBF si hay una jerarquía clara de operaciones

(2013, 29 Agosto MathLogic)

https://youtu.be/OuHYh1Xw5no|

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Ejemplos

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