成長により生じる折紙テセレーション
Origami Tessellations Induced by Growth

内在的性質と外在的性質が異なる曲面
舘知宏、堀川淳一郎 2021
Surfaces with Incompatible Intrinsic and Extrinsic Nature
Tomohiro Tachi, Junichiro Horikawa 2021

曲面は曲がり具合に基づいて、椀型の曲面（どの方向にも凸／どの方向にも凹）、単曲面（曲がった方向の直交方向がまっすぐ。柱面や錐面、接線曲面）、鞍型の曲面（ある方向に凸で直交方向に凹）に分類できます。この分類は、曲面を外から見た「外在的」な視点によるものです。

一方、曲面をその曲面上を住むアリから見た「内在的」視点による表現も存在します。曲面上の領域を一周回ったときのトータルの角度θを考えます。内在的な視点による曲面の分類はθ<360°、θ=360°、θ>360°の3種類です。例えば平面上では一周360°ですが、地球上では異なります。北極から赤道まで地球を1/4周し、90°左を向いて東に1/4周し、また左を向いて北極に向かうと、90°回転を3回、すなわち270°回転をするだけで三角形を一周できます。

古典的微分幾何学のガウス・ボネの定理によれば、前者の外在的な性質と後者の内在的な性質は対応することが知られています。θ<360°なら椀型、θ=360°なら単曲面、θ>360°なら鞍型になります。したがって一周がθ=360°を保つ紙はいかように曲げても単曲面にしかならないという主張が導かれます。ところが、「折り」「シワ」という微分不可能な部分を持つ曲面では、この定理を回避することが可能で、内在的な性質と外在的な性質が異なる曲面が作れます。— 舘知宏

We can classify surfaces based on their curvature into bowl-shaped surfaces (convex in any direction/concave in any direction), singly-curved surfaces (straight in the direction perpendicular to the direction of bending. Either cylinder, cone, or tangent surfaces), or saddle-shaped surfaces (convex in one direction and concave in the orthogonal direction). This classification is based on an "extrinsic" view of the surface from the outside. 

On the other hand, there is also an expression based on an "intrinsic" point of view, in which a surface is "viewed from an ant that lives on the surface." Consider the total angle θ when the ants go around a region on the surface. We can classify surfaces by intrinsic perspective: θ<360°, θ=360°, and θ>360°. For example, on a plane, the angle is 360°, but on the earth, it is different. If you go around the earth from the North pole to the equator 1/4 round, turn 90° to the left, and go around 1/4 round to the east, then turn left again to the North pole, you can go around the triangle just by rotating three times 90°, i.e., 270°. 

According to the Gauss-Bonnet theorem of classical differential geometry, the extrinsic properties of the former correspond to the intrinsic properties of the latter. θ<360° makes the surfaces bowl-shaped, θ=360° makes them singly-curved, and θ>360° makes them saddle-shaped. Thus, the argument follows that a paper whose circumference remains θ=360° is only singly-curved no matter how you bend it. However, a surface with a non-differentiable part called a "fold" may circumvent this theorem and may become a surface with different intrinsic and extrinsic properties. — Tomohiro Tachi

自己組織化による曲線折紙
舘知宏、堀川淳一郎、金岡大輝 2022
Self-organized Curved Origami
Tomohiro Tachi, Junichiro Horikawa, Daiki Kanaoka 2022

紙のように薄い材料を縮めようとするとき、材料は実際には縮まずにしわを寄せることで「大局的な縮み」を生じます。このような現象は「座屈」と呼ばれます。各部分が周囲を押しあうことによって、繰り返しパターンが自己組織的に生成されます。脳のシワや昆虫の殻など、狭い場所で成長しようとする生体の膜にも同様のパターンが現れます。この大局的な縮みが、内在的な性質と外在的な性質を自在に変化させる機能を持っています。

本作品ではこのような膜の折り目パターンをシミュレーションで生成することで、新しい折紙テセレーションを作りました。大局的な縮みを生成し、それらを曲面上で適切に分布させることで、一枚の金属シートから椀型の曲面や鞍型の領域を持つ自在な曲面を作り出しています。生み出されたシワのパターンを抽出し整理すると、曲線と曲面で構成された折紙「曲線折紙」が現れます。— 舘知宏

When attempting to shrink a thin material like paper, the material does not actually shrink but instead wrinkles, creating a "global shrinkage." This phenomenon is called "buckling." As each part pushes against its surroundings, a repeating pattern is generated in a self-organized manner. Similar patterns appear in the membranes of living organisms that try to grow in tight spaces, such as the wrinkles in the brain and the shells of insects. This global contraction has the ability to change intrinsic and extrinsic properties freely.

In this work, we created a new origami tessellation by generating such a membrane fold pattern through simulation. By generating global shrinkage and distributing them on a target curved surface, a flexible curved surface with bowl-shaped or saddle-shaped regions is created from a single sheet of metal. When the wrinkle patterns produced are extracted and processed, "curved origami," origami composed of curves and curved surfaces, appears. — Tomohiro Tachi