Énoncé du problème :
. On choisit au hasard un trinôme (c.a.d. un groupe de 3 élèves) dans une classe de 26 élèves.
. Quelle est la probabilité que Maïa, qui appartient à cette classe, fasse partie du trinôme ?
Une première résolution, avec les coefficients binomiaux :
On considère qu'on est dans une situation d'équiprobabilité (c.a.d. : tous les élèves ont la même probabilité d'être choisis), et que les tirages sont sans remise et sans ordre.
p = (2 parmi 25) / (3 parmi 26)
→ et on trouve . . . p = 3 / 26
. 3 comme les 3 élèves du trinôme ?
. 26 comme le total de 26 élèves ?
→ Coïncidence ? Je ne crois pas 😱
Des conjectures :
Étudions quelques situations similaires :
Si par exemple on choisit 2 élèves parmi 11, la probabilité que Maïa fasse partie du groupe de 2 élèves est :
p = (1 parmi 10) / (2 parmi 11) = 10 / (2 parmi 11) = ... = 2/11
Si par exemple on choisit 5 élèves parmi 33, la probabilité que Maïa fasse partie du groupe de 5 élèves est :
p = (4 parmi 32) / (5 parmi 33) = ... = 5/33
Si par exemple on choisit 9 élèves parmi 50, la probabilité que Maïa fasse partie du groupe de 9 élèves est :
p = (8 parmi 49) / (9 parmi 50) = ... = 9/50
Etc.
Il semble donc que, si on choisit k élèves parmi n, la probabilité que Maïa fasse partie du groupe de k élèves est :
p = k / n
Une démonstration par le calcul :
On peut le démontrer facilement par le calcul (en utilisant la formule d'un coefficient binomial) :
p = (k-1 parmi n-1) / (k parmi n)
p = [ (n-1)! / (k-1)!(n-1-(k-1))! ] / [ n! / k!(n-k)! ]
p = [ (n-1)! / (k-1)!(n-k)! ] / [ n! / k!(n-k)! ]
p = . . .
p = k / n
Une autre résolution ?
L'objectif ici est de trouver une expérience aléatoire (et l'évènement qui va avec) correspondant au tirage d'une unique boule dans une urne contenant 26 boules, équivalente à notre énoncé (c'est-à-dire la recherche de la probabilité que Maïa fasse partie du trinôme choisi au hasard), et qui amènerait au même résultat (proba = 3/26) avec un raisonnement très simple :
proba = (nombre de cas favorables à tel évènement...) / (nombre de cas possibles)
ce qui amènerait alors naturellement à : proba = 3 / 26
→ à votre réflexion, et... vos propositions !