Όπως κάθε χρόνο, διοργανώνεται και φέτος διδακτικό και ερευνητικό σεμινάριο με γενικό θέμα

Συναρτησιακή Ανάλυση και Άλγεβρες Τελεστών

Το σεμινάριο είναι ανοιχτό σε όλους. Απευθύνεται σε μεταπτυχιακούς και προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές και σε ερευνητές.

Το χειμερινό εξάμηνο φέτος σχεδιάζουμε να παρουσιάσουμε κύκλους διαλέξεων σε προπαρασκευαστικά, και έπειτα να προχωρήσουμε σε διάφορα θέματα, που σχετίζονται με την αλληλεπίδραση με άλλους άλλους κλάδους της Ανάλυσης και των εφαρμογών της, όπως με την Αρμονική Ανάλυση, τα Δυναμικά Συστήματα και την Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας. Επιπλέον, θα πραγματοποιηθούν ομιλίες ερευνητικού περιεχομένου από νέους ερευνητές και άλλους που θα παρουσιάσουν την δουλειά τους.

Προτάσεις από τους συμμετέχοντες είναι ευπρόσδεκτες!

Μετά το τέλος κάθε διάλεξης θα διατίθεται ένα ημίωρο περίπου για συζήτηση και ερωτήσεις.

Πρόγραμμα: Κάθε Τετάρτη, 3-5μμ, στην Αίθουσα Γ31 του Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ

Όσοι ενδιαφέρονται μπορούν να γραφτούν στη νέα λίστα (=mailing list) που δημιουργείται, στέλνοντας ένα η-μήνυμα στο  apollonparask@gmail.com ώστε να λαμβάνουν ειδοποιήσεις. 

•  Τετάρτη, 8 Οκτωβρίου 2025, 15:00 - 17:00, Αίθουσα Γ31:

Απ. Παρασκευάς (ΕΚΠΑ): Μια σύντομη απόδειξη της ύπαρξης του injective envelope ενός χώρου τελεστών (Ι)

Περίληψη: Στην σειρά των ομιλιών αυτών δίνουμε μια σύντομη απόδειξη της ύπαρξης του injective envelope ενός χώρου τελεστών Ε (κλειστού υπόχωρου ενός B(H)) με θεωρία τοπολογικών ημιομάδων. Συγκεκριμένα, με την χρήση του Ellis' Lemma μπορεί κανείς να δείξει ότι η point-weak* συμπαγής τοπολογική ημιομάδα των completely contractive self maps του B(H) που σταθεροποιούν τον Ε έχει ελαχιστικό ταυτοδύναμο στοιχείο. Αυτό το ελαχιστικό στοιχείο είναι μια προβολή της οποίας η εικόνα είναι το injective envelope του E.

Θα ξεκινήσουμε δίνοντας τους απαραίτητους ορισμούς και παραδείγματα για injective αντικείμενα. Θα δώσουμε τους απαραίτητους ορισμούς στις τοπολογικές ημιομάδες και θα αποδείξουμε το Ellis' Lemma και την ύπαρξη ελαχιστικού ταυτοδύναμου στοιχείου σε μια συμπαγή τοπολογική ημιομάδα.

Αναφορές:

T. Sinclair, "A short proof of the existence of the injective envelope of an operator space", Proc. of the Amer. Math. Soc. (2025) (διαθέσιμο στο arXiv:  https://arxiv.org/abs/2507.10931)

V.I. Paulsen, "Completely bounded maps and operator algebras", Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2002).

G.J. Murphy, "C*-algebras and Operator Theory", Academic Press (1990).

•  Τετάρτη, 15 Οκτωβρίου 2025, 15:00 - 17:00, Αίθουσα Γ31:

Απ. Παρασκευάς (ΕΚΠΑ): Μια σύντομη απόδειξη της ύπαρξης του injective envelope ενός χώρου τελεστών (ΙΙ)

Περίληψη: Στην σειρά των ομιλιών αυτών δίνουμε μια σύντομη απόδειξη της ύπαρξης του injective envelope ενός χώρου τελεστών Ε (κλειστού υπόχωρου ενός B(H)) με θεωρία τοπολογικών ημιομάδων. Συγκεκριμένα, με την χρήση του Ellis' Lemma μπορεί κανείς να δείξει ότι η συμπαγής τοπολογική ημιομάδα των completely contractive self maps του B(H) που σταθεροποιούν τον Ε έχει ελαχιστικό ταυτοδύναμο στοιχείο. Αυτό το ελαχιστικό στοιχείο είναι μια προβολή της οποίας η εικόνα είναι το injective envelope του E. 

Θα συνεχίσουμε με κάποια αποτελέσματα στις αφινικές συμπαγείς τοπολογικές ημιομάδες και θα δείξουμε ότι το σύνολο των completely contractive self maps του B(H) είναι αφινική συμπαγής τοπολογική ημιομάδα. Τέλος, θα αποδείξουμε την ύπαρξη και την μοναδικότητα του injective envelope.

Αναφορές:

T. Sinclair, "A short proof of the existence of the injective envelope of an operator space", Proc. of the Amer. Math. Soc. (2025) (διαθέσιμο στο arXiv:  https://arxiv.org/abs/2507.10931)

V.I. Paulsen, "Completely bounded maps and operator algebras", Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2002).

G.J. Murphy, "C*-algebras and Operator Theory", Academic Press (1990).

• Τετάρτη, 22 Οκτωβρίου 2025, 15:00-17:00, Αίθουσα Γ31. 

Αλέξανδρος Χατζηνικολάου (ΕΜΠ): Το θεώρημα επέκτασης του Arveson στην κατηγορία των αυτοσυζυγών χώρων τελεστών.

Περίληψη: Τα θεωρήματα επέκτασης αποτελούν θεμελιώδους σημασίας αποτελέσματα στην συναρτησιακή και μη-μεταθετική ανάλυση. Τα πιο γνωστά παραδείγματα είναι το θεώρημα Hahn-Banach στην κατηγορία των χώρων Banach, το θεώρημα Wittstock στην κατηγορία των χώρων τελεστών (κλειστοί υπόχωροι ενός B(H)) και το θεώρημα του Arveson στην κατηγορία των συστημάτων τελεστών (αυτοσυζυγείς υπόχωροι ενός B(H) που περιέχουν τη μονάδα). Η ύπαρξη επεκτάσεων σε κάθε κατηγορία μεταφράζεται και ως ύπαρξη ενός injective αντικειμένου στην κατηγορία. Συγκεκριμένα στην κατηγορία των αυτοζυγών χώρων τελεστών, είναι γνωστό ότι ο B(H) δεν είναι injective, δηλαδή δεν δέχεται κάθε μορφισμός με τιμές στον B(H) επέκταση με διατήρηση της νόρμας. Σε αυτή την ομιλία θα εξερευνήσουμε το φαινόμενο αυτό, θα δώσουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη επεκτάσεων αλλά και αντιπαραδείγματα που ρίχνουν φως στις δομικές δυσκολίες. Η ομιλία θα είναι ερευνητικού και διδακτικού περιεχομένου και τα αποτελέσματα που θα παρουσιαστούν βασίζονται σε ερευνητική εργασία σε συνεργασία με τους Ε. Κακαριάδη, Ι. Α. Παρασκευά και S.-J. Kim.

Αναφορές:

A. Chatzinikolaou, E.T.A. Kakariadis, S.-J. Kim, and I.A. Paraskevas "On the embeddings of selfadjoint operator spaces", preprint, (2025) https://arxiv.org/abs/2510.24326.

W. Werner, "Subspaces of L(H) that are *-invariant", J. Func Anal. 190 (2) (2002), 411–424.

V.I. Paulsen, "Completely bounded maps and operator algebras", Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2002).

P. Skoufranis, ''Completely positive maps". Notes. Retrieved from https://pskoufra.info.yorku.ca/files/2016/07/Completely-Positive-Maps.pdf

• Τετάρτη, 29 Οκτωβρίου 2025, 15:00-17:00, Αίθουσα Γ31. 

Μ. Ανούσης / Α. Κατάβολος: Αναπαραστάσεις C* αλγεβρών και συστημάτων τελεστών και κατάστασεις.

Περίληψη: Θα συζητήσουμε τη σχέση μεταξύ αναπαραστάσεων C* αλγεβρών και θετικών γραμμικών μορφών νόρμας 1 (:καταστάσεων). Θα μας απασχολήσει η σχέση μεταξύ ανάγωγων (irreducible) αναπαραστάσεων και καθαρών καταστάσεων (pure states), καθώς και η σχέση μεταξύ ενός συστήματος συναρτήσεων  (function system) και του «τοπολογικού συνόρου» του χώρου καταστάσεων  της (αβελιανής) C* άλγεβρας που παράγει.

Διαφάνειες

• Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2025, 15:00-17:00, Αίθουσα Γ31. 

Oμιλητής: Αλ. Χατζηνικολάου (ΕΜΠ)

Τίτλος: Μη-μεταθετική θεωρία Choquet και η εικασία του Arveson.

Περίληψη: Έστω S ένα σύστημα τελεστών και A = C*(S) μια C*-άλγεβρα που παράγεται από το S. Μια συνοριακή (boundary) αναπαράσταση για το S είναι μια ανάγωγη αναπαράσταση του C*(S) σε έναν χώρο Hilbert με την ιδιότητα ότι ο περιορισμός στο S έχει μία μοναδική πλήρως θετική επέκταση στο C*(S). Το σύνολο όλων των (μοναδιαία ισοδύναμων) συνοριακών αναπαραστάσεων αποτελεί το μη μεταθετικό ανάλογο του συνόρου Choquet ενός συστήματος συναρτήσεων σε εναν C(X) που διαχωρίζει τα σημεία του X.

Hyperrigidity θα καλούμε το μη-μεταθετικό ανάλογο της ιδιότητας ενός συνόλου Korovkin. Αποδεικνύεται ότι για τα hyperrigid συστήματα τελεστών, κάθε ανάγωγη αναπαράσταση είναι συνοριακή αναπαράσταση. Η εικασία του Arveson ισχυρίζεται ότι ισχύει και αντίστροφο, δηλαδή, αν κάθε ανάγωγη αναπαράσταση είναι συνοριακή, τότε το σύστημα τελεστών είναι hyperrigid.

Σε αυτή τη σειρά ομιλιών θα παρουσιάσουμε την εικασία του Arveson και το αντιπαράδειγμα από τους B. Bilich- A. Dor-On (2024).

Αναφορές:

• W. Arveson, The noncommutative Choquet boundary. Journal of the American Mathematical Society 21 (2008), 1065-1084. URL: https://arxiv.org/pdf/math/0701329

• W. Arveson, The noncommutative Choquet boundary II: Hyperrigidity. Israel Journal of Mathematics 184 (2011), 349-385. URL: https://arxiv.org/abs/0810.2751

• B. Bilich & A. Dor-On, Arveson’s hyperrigidity conjecture is false. arXiv preprint (2024). URL: https://arxiv.org/abs/2404.05018