Mediana (estadística)

Para otros usos de este término, véase mediana.

Visualización geométrica de la moda, la mediana y de la media de una función arbitraria de densidad de probabilidad.

En el ámbito de la estadística, la mediana (del latín mediānus 'del medio'¹ ) representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Índice

• 1Cálculo
  • 1.1Datos sin agrupar
  • 1.2Datos agrupados
• 2Ejemplos para datos sin agrupar
  • 2.1Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos
  • 2.2Ejemplo 2: Cantidad (N) par de datos
• 3Ejemplo para datos agrupados
• 4Método de cálculo general
• 5Véase también
• 6Enlaces externos
• 7Referencias

Cálculo[editar]

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas:

Datos sin agrupar[editar]

Sean {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}} los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como {\displaystyle M_{e}}, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición {\displaystyle (n+1)/2} una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: {\displaystyle M_{e}=x_{(n+1)/2}}.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: {\displaystyle x_{1}=3}, {\displaystyle x_{2}=6}, {\displaystyle x_{3}=7}, {\displaystyle x_{4}=8}, {\displaystyle x_{5}=9} => El valor central es el tercero: {\displaystyle x_{(5+1)/2}=x_{3}=7}. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ({\displaystyle x_{1}}, {\displaystyle x_{2}}) y otros dos por encima de él ({\displaystyle x_{4}}, {\displaystyle x_{5}}).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando {\displaystyle n} es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones {\displaystyle n/2} y {\displaystyle n/2+1}. Es decir: {\displaystyle M_{e}=(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1})/2}.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: {\displaystyle x_{1}=3}, {\displaystyle x_{2}=6}, {\displaystyle x_{3}=7}, {\displaystyle x_{4}=8}, {\displaystyle x_{5}=9}, {\displaystyle x_{6}=10}. Aquí dos valores que están por debajo del {\displaystyle x_{\frac {6}{2}}=x_{3}=7} y otros dos que quedan por encima del siguiente dato {\displaystyle x_{{\frac {6}{2}}+1}=x_{4}=8}. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: {\displaystyle M_{e}={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={\frac {7+8}{2}}=7,5}.

Datos agrupados[editar]

Al tratar con datos agrupados, si {\displaystyle {\frac {n}{2}}} coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

{\displaystyle {\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{p}}\Rightarrow p={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{N_{i}-N_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1})}

Donde {\displaystyle N_{i}} y {\displaystyle N_{i-1}} son las frecuencias absolutas acumuladas tales que {\displaystyle N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}}, {\displaystyle a_{i-1}} y {\displaystyle a_{i}} son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y {\displaystyle M_{e}=a_{i-1}+p} es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que {\displaystyle a_{i}-a_{i-1}} es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.