PROGRAMA
A continuación se muestra el programa de la escuela de verano. El resumen de cada curso se encuentra debajo del programa. Los cursos están indexados en el cronograma de acuerdo a lo siguiente:
C1: Polinomios positivos y sumas de cuadrados. Profesor: Daniel Perrucci.
C2: Métodos Algebraicos en Filogenética. Profesora: Marina Garrote López.
C3: Optimización mediante sumas-de-cuadrados sobre conjuntos finitos. Profesor: Mauricio Velasco.
C4: Polígonos de Newton, Poliedros y Geometría Tropical. Profesora: Fuensanta Aroca.
C5: Un link entre el álgebra (conmutativa) y la teoría de códigos. Profesor: Hiram H. López Valdez, Yuriko Pitones.
C6: Programación semidefinida. Profesor: Diego Cifuentes. Curso cancelado
C6. Geometría Algebraica en redes de reacciones químicas. Profesor: Beatriz Pascual Escudero. Angélica Torres
También habrá dos paneles de discusión con los siguientes temas:
Panel 1: Inicio y desarrollo de una carrera investigadora. Acceso al doctorado y cuestiones prácticas en distintos lugares del mundo. (Panelistas: Marina Garrote López, Daniel Perrucci, Sebastián David Higuera Rincón, Luíze D'Urso, Mario Velásquez)
Panel 2: Día a día de la investigación en Matemáticas. La Investigación en el mundo académico y las aplicaciones de las matemáticas a la industria.
Los estudiantes también tendrán varias oportunidades para presentar su trabajo al grupo. Estos tiempos están etiquetados como Presentaciones.
NOTA: El cronograma a continuación es tentativo y puede estar sujeto a cambios antes del inicio del evento.
Registro al Panel 2:
Día a día de la investigación en Matemáticas. La Investigación en el mundo académico y las aplicaciones de las matemáticas a la industria.
Programa:
Resúmenes de los cursos:
C1: Polinomios positivos y sumas de cuadrados, Daniel Perrucci.
El objetivo del curso es introducir a la teoría de polinomios positivos en dominios semialgebraicos de R^n y su eventual escritura involucrando sumas de cuadrados como certificado de positividad o de no negatividad. Se estudiaría también el caso de identidades polinomiales que involucran sumas de cuadrados e implican la no factibilidad de un sistema de ecuaciones e inecuaciones polinomiales sobre los reales. En particular, se abordarán problemas clásicos como el Problema 17 de Hilbert y el Positivstellensatz de Krivine.
C2: Métodos Algebraicos en Filogenética, Marina Garrote López.
La filogenética, es el estudio de las relaciones evolutivas entre un conjunto de entidades biologicas, y es un campo complejo en que el algebra, la probabilidad, la estadística y la combinatoria son fundamentales. Recientemente, los métodos algebraicos han desempeñado un papel crucial en el avance de la teoría de la inferencia filogenética y la reconstrucción de árboles. En este curso de tres sesiones exploraremos cómo puede utilizarse la estadística algebraica para analizar modelos filogenéticos y estudiaremos las estructuras algebraicas subyacentes de los procesos evolutivos.
C3: Optimización mediante sumas-de-cuadrados sobre conjuntos finitos, Mauricio Velasco.
Si X un subconjunto de R^n es un conjunto finito entonces toda función sobre X puede escribirse como la restricción de un polinomio en n variables. Como resultado, optimizar polinomios sobre conjuntos finitos es literalmente lo mismo que hacer optimización no-lineal (general) sobre tales conjuntos. Escribir funciones como restricciones de polinomios nos provee con una gran cantidad de estructuras adicionales que podemos utilizar para construir mejores algoritmos de optimización tales como el método de sumas-de-cuadrados. En este curso corto me enfocaré en explicar cómo podemos utilizar esparcidad, simetría y métodos por kerneles para resolver problemas de optimización no lineal en conjuntos finitos. Demostraré resultados recientes sobre el comportamiento de estos métodos en el hipercubo binario debidos a Blekherman, Gouveia, Laurent, Nie, Parrilo, Saunderson, Slot, Thomas y otros. Mis charlas serán una introducción auto-contenida a esta emocionante área de investigación.
C4: Polígonos de Newton, Poliedros y Geometría Tropical, Fuensanta Aroca.
El objetivo de este curso es que los alumnos dominen las técnicas del polígono y poliedro de Newton para parametrizar curvas planas e hipersuperficies algebraicas y que entiendan las ideas detrás de sus extensiones al caso diferencial y la geometría tropical. La primera parte de cada clase estará dedicada al caso algebraico clásico y la segunda a la extensión del caso clásico a Ecuaciones diferenciales.
C5: Un link entre el álgebra (conmutativa) y la teoría de códigos, Hiram H. López Valdez, Yuriko Pitones.
El objetivo de este curso es dar una introducción a la teoría de códigos desde un punto de vista algebraico. Los principales objetos de estudio en la teoría de códigos son los códigos lineales. En este curso, introduciremos los códigos de evaluación, que son códigos lineales a los que se les asocian ciertos ideales. Veremos cómo se pueden interpretar los principales parámetros de los códigos de evaluación a partir de las propiedades algebraicas de los ideales asociados, como el grado, el índice de regularidad y el footprint. Veremos cómo ciertas familias de códigos de evaluación ayudan a resolver nuevos retos tecnológicos, como los sistemas de almacenamiento distribuido y la multiplicación de matrices de gran tamaño.
C6: Geometría Algebraica en redes de reacciones químicas. Beatriz Pascual Escudero, Angélica Torres.
En Bioquímica, Ecología y algunos otros campos, las Redes de Reacciones representan interacciones entre especies, por ejemplo entre proteínas en un proceso celular. Estas interacciones se pueden modelar por medio de un grafo, y la evolución de las concentraciones de las especias por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en muchos casos de interés van a ser polinomiales.
Los equilibrios de un sistema así son entonces las soluciones positivas de un sistema de ecuaciones polinomiales, que llamamos variedad de steady states positivos. Estos sistemas polinomiales pueden tener muchas variables y una gran cantidad de parámetros desconocidos, pero también tienen una estructura especial que permite entender bastantes propiedades del sistema en cuestión y responder algunas preguntas de interés.
Veremos una introducción a este campo de las Redes de Reacciones (CRNT en inglés), las estructuras básicas que se estudian y algunos métodos y problemas comunes. Trabajaremos con ejemplos para ilustrar los distintos comportamientos que podemos encontrarnos y tratar de responder algunas de las preguntas de interés para la bioquímica.
Bibliografía:
M. Feinberg. Foundations of chemical reaction network theory, Applied Mathematical Sciences, 202, Springer, Cham (2019).
A. Dickenstein. Algebraic Geometry Tools in Systems Biology, Notices of the AMS (2020) 67(11).
P. Yu, G. Craciun. Mathematical Analysis of Chemical Reaction Networks, Isr. J. Chem. (2018) 58.
F. Horn, R. Jackson. General mass action kinetics, Arch. Rational Mech. Anal. (1972) 47.
B. Pascual-Escudero, A. Torres. Herramientas algebraicas y combinatorias para el estudio de sistemas dinámicos polinomiales. La Gaceta de la RSME, Vol. 25 (2022), Núm. 2, Págs. 299–325