El objetivo del curso es introducir a la teoría de polinomios positivos en dominios semialgebraicos de R^n y su eventual escritura involucrando sumas de cuadrados como certificado de positividad o de no negatividad. Se estudiaría también el caso de identidades polinomiales que involucran sumas de cuadrados e implican la no factibilidad de un sistema de ecuaciones e inecuaciones polinomiales sobre los reales. En particular, se abordarán problemas clásicos como el Problema 17 de Hilbert y el Positivstellensatz de Krivine.

La filogenética, es el estudio de las relaciones evolutivas entre un conjunto de entidades biologicas, y es un campo complejo en que el algebra, la probabilidad, la estadística y la combinatoria son fundamentales. Recientemente, los métodos algebraicos han desempeñado un papel crucial en el avance de la teoría de la inferencia filogenética y la reconstrucción de árboles. En este curso de tres sesiones exploraremos cómo puede utilizarse la estadística algebraica para analizar modelos filogenéticos y estudiaremos las estructuras algebraicas subyacentes de los procesos evolutivos.

Si X un subconjunto de R^n es un conjunto finito entonces toda función sobre X puede escribirse como la restricción de un polinomio en n variables. Como resultado, optimizar polinomios sobre conjuntos finitos es literalmente lo mismo que hacer optimización no-lineal (general) sobre tales conjuntos. Escribir funciones como restricciones de polinomios nos provee con una gran cantidad de estructuras adicionales que podemos utilizar para construir mejores algoritmos de optimización tales como el método de sumas-de-cuadrados.  En este curso corto me enfocaré en explicar cómo podemos utilizar esparcidad, simetría y métodos por kerneles para resolver problemas de optimización no lineal en conjuntos finitos. Demostraré resultados recientes sobre el comportamiento de estos métodos en el hipercubo binario debidos a Blekherman, Gouveia, Laurent, Nie, Parrilo, Saunderson, Slot, Thomas y otros.  Mis charlas serán una introducción auto-contenida a esta emocionante área de investigación.

El objetivo de este curso es que los alumnos dominen las técnicas del polígono y poliedro de Newton para parametrizar curvas planas e hipersuperficies algebraicas y que entiendan las ideas detrás de sus extensiones al caso diferencial y la geometría tropical.  La primera parte de cada clase estará dedicada al caso algebraico clásico y la segunda a la extensión del caso clásico a Ecuaciones diferenciales.

El objetivo de este curso es dar una introducción a la teoría de códigos desde un punto de vista algebraico. Los principales objetos de estudio en la teoría de códigos son los códigos lineales. En este curso, introduciremos los códigos de evaluación, que son códigos lineales a los que se les asocian ciertos ideales. Veremos cómo se pueden interpretar los principales parámetros de los códigos de evaluación a partir de las propiedades algebraicas de los ideales asociados, como el grado, el índice de regularidad y el footprint. Veremos cómo ciertas familias de códigos de evaluación ayudan a resolver nuevos retos tecnológicos, como los sistemas de almacenamiento distribuido y la multiplicación de matrices de gran tamaño.

La programación semidefinida es una clase muy amena de problemas de optimización, que tiene diversas aplicaciones en ingeniería, computación, economía, y finanzas. El objetivo es minimizar una función lineal en un subconjunto del cono de matrices positivas semidefinidas. La programación semidefinida generaliza la optimización lineal, pero es aplicable en muchos más contextos. La programación semidefinida puede utilizarse para aproximar problemas de optimización más complicados. En particular, el método de suma de cuadrados permite aproximar problemas de optimización polinomial por medio de optimización semidefinida.  En este curso, introduciré la optimización semidefinida, discutiendo las similitudes y diferencias con optimización lineal. Mostraré algunas de las aplicaciones en ingeniería y computación, ilustrando la conexión con optimización polinomial. También discutiré algoritmos modernos para resolver programas semidefinidos.