Corso on-line introduttivo in 32 lezioni

Materiale: dispensa del corso e lavagne in formato pdf

Programma:

• Lezione 1: Introduzione alla probabilità. Spazi misurabili e spazi di probabilità.

• Lezione 2: Monotonia e sub-additività delle misure. Probabilità uniforme discreta. Equivalenza di sigma-additività, sigma-sub-additività, continuità dall’alto e dal basso delle misure. 

• Lezione 3: Spazi finiti e problemi di conteggio: utilizzo del calcolo combinatorio per risolvere problemi con la probabilità uniforme discreta. Probabilità binomiale. 

• Lezione 4: Probabilità condizionata. Formula della probabilità totale e di moltiplicazione. Formula di Bayes.

• Lezione 5: Indipendenza. Esempi. Indipendenza di una famiglia di eventi. Lemma di Borel-Cantelli. Famiglie di prove ripetute e indipendenti.

• Lezione 6: Primo tempo di successo. Sigma-algebra di Borel. Distribuzioni. Delta di Dirac.

• Lezione 7: Distribuzioni discrete: esempi (Bernoulli, uniforme, binomiale, geometrica, di Poisson). Densità e distribuzioni assolutamente continue. Esempi: uniforme, esponenziale e normale. Funzione di ripartizione (CDF): proprietà generali.

• Lezione 8: Funzioni AC. Teorema di Carathéodory. Funzione di ripartizione (CDF) e distribuzioni. Esempi.

• Lezione 9: Cenni a CDF multidimensionali. Introduzione alle variabili aleatorie: prime proprietà. Esempi notevoli. 

• Lezione 10: Distribuzione (o legge) di una v.a. Esempi ed esercizi su variabili discrete. Uguaglianza quasi certa e in legge. Relazione fra variabili binomiali e di Poisson.  

• Lezione 11: V.a. geometriche e caratterizzazione con la proprietà di perdita di memoria. Trasformazione lineare di una v.a. Distribuzione normale (standard). Distribuzione Gamma, chi-quadro. Esempi.

• Lezione 12: Il concetto di simulazione di v.a. con assegnata distribuzione. Introduzione al valore atteso come integrale astratto. 

• Lezione 13: Costruzione dell’integrale astratto e dimostrazione del Teorema di Beppo-Levi. Integrale di distribuzioni: i casi discreto e AC. Teorema del calcolo della media.

• Lezione 14: Teorema del calcolo della media. Varianza. Esempi. Disuguaglianza di Jensen.

• Lezione 15: Disuguaglianze notevoli: Jensen, Holder, Cauchy-Schwarz. Covarianza e correlazione. Grafico di dispersione e retta di regressione. 

• Lezione 16: Legge congiunta e leggi marginali. Esempi. Dipendenza deterministica e indipendenza stocastica. Teorema di Doob. Misura prodotto. Esempi ed esercizi.

• Lezione 17: Teorema di Fubini e misura prodotto. Indipendenza fra due o più variabili aleatorie. Caratterizzazione dell’indipendenza in termini di distribuzioni congiunta e marginali. Indipendenza e valore atteso.

• Lezione 18: Indipendenza di v.a. Un esempio economico: la crisi dei mutui subprime, CDO e CDS

• Lezione 19: Indipendenza e valore atteso: esempi. Distribuzione e valore atteso condizionato ad un evento: esempi. Somma di variabili aleatorie.

• Lezione 20: Il modello binomiale: un esempio di inferenza statistica. Altri esempi: somma di Poisson, di normali, di Gamma. Massimo e minimo di v.a.

• Lezione 21: Funzione caratteristica. Prime proprietà. Esempi notevoli: CHF della distribuzione normale. Teorema di inversione. 

• Lezione 22: Dimostrazione del Teorema di inversione. CHF congiunta e marginali, CHF e indipendenza. Distribuzione normale multidimensionale. 

• Lezione 23: Distribuzione normale multidimensionale. Esempi. CHF e momenti. 

• Lezione 24: Convergenze per successioni di v.a.: quasi certa, in probabilità, in norma L^p, debole. Esempi. Disuguaglianza di Markov. Relazione fra vari tipi di convergenza di successioni di v.a. Legge debole dei grandi numeri. Un esempio: la strategia del raddoppio.

• Lezione 25: Relazioni fra vari tipi di convergenze.

• Lezione 26: Legge dei grandi numeri e metodi numerici di tipo Monte Carlo. Metrizzabilità di vari tipi di convergenza di v.a.

• Lezione 27: Polinomi di Bernstein. Convergenza debole e convergenza di CDF. Teorema di continuità di Lévy.

• Lezione 28: Teorema di continuità di Lévy: esempi di convergenza debole. Legge dei grandi numeri per v.a. sommabili. Teorema centrale del limite. 

• Lezione 29: Teorema centrale del limite e applicazione al metodo Monte Carlo. Attesa condizionata a una variabile discreta.

• Lezione 30: Probabilità e legge condizionata a una variabile discreta. Formula della probabilità totale. Attesa condizionata nel caso generale.

• Lezione 31: Proprietà dell’attesa condizionata. Lemma di freezing. Esempi. Attesa condizionata come funzione. Densità condizionata a partire dalla densità congiunta.

• Lezione 32: Introduzione ai processi stocastici: martingale e proprietà di Markov.

Corso on-line introduttivo in 25 lezioni

Materiale: dispensa del corso e lavagne in formato pdf

Programma:

• Lezione 1: Introduzione ai processi stocastici. Spazio delle traiettorie. Legge e distribuzioni finito-dimensionali. Processi Gaussiani.  

• Lezione 2: Equivalenza di processi: equivalenza in legge, modificazioni, processi indistinguibili.

• Lezione 3: Esistenza: Teorema di estensione di Kolmogorov. Versione canonica di un processo. Il caso dei processi Gaussiani. 

• Lezione 4: Richiami su attesa condizionata come variabile aleatoria e come funzione. Cenni alla probabilità e legge condizionata.

• Lezione 5: Proprietà dell’attesa condizionata. Filtrazioni e martingale. Proprietà ed esempi. Decomposizione di Doob per martingale discrete.

• Lezione 6: Decomposizione di Doob per martingale discrete. (Sub- e super-) martingale. Legge di transizione di un processo. 

• Lezione 7: Esempi di leggi di Poisson e Gaussiana. Proprietà di Markov e Markov estesa. Processi a incrementi indipendenti e di Markov.

• Lezione 8: Processi a incrementi indipendenti, di Markov e martingale. Distribuzioni finito-dimensionali di un processo di Markov. Equazione di Chapman-Kolmogorov. Esistenza. Legge di transizione di Poisson e Gaussiana.

• Lezione 9: Generatore infinitesimale di un processo di Markov. Equazione di Kolmogorov forward.

• Lezione 10: Equazione di Kolmogorov backward. Il caso Gaussiano: interpretazione fisica con l’equazione del calore; interpretazione finanziaria con la valutazione di derivati. Il caso di Poisson.

• Lezione 11: Processo di Poisson: definizione e principali proprietà. Processi stocastici continui. Teorema di continuità di Kolmogorov.

• Lezione 12: Dimostrazione del Teorema di continuità di Kolmogorov. Applicazione al caso Gaussiano. Il moto Browniano. 

• Lezione 13: Il moto Browniano: definizione e caratterizzazione come processo Gaussiano. Esistenza e unicità in legge. Proprietà di Markov e martingala. Tempi d’arresto discreti. Prime proprietà. Tempo d’uscita.

• Lezione 14: Tempi d’arresto discreti. Processo stoppato. Teorema di optional sampling. Disuguaglianze massimali di Doob.

• Lezione 15: Lemma di upcrossing. Ipotesi usuali sulle filtrazioni. Tempo di uscita da un chiuso.

• Lezione 16: Il caso continuo: le ipotesi usuali. Optional sampling, disuguaglianze massimali e lemma di upcrossing nel caso continuo. Esistenza di modificazioni cadlag di martingale. Funzioni BV.

• Lezione 17: Integrale di Riemann-Stieltjes e formula di Ito deterministica: esempi. La notazione differenziale. Cenni all’integrale di Lebesgue-Stieltjes. Variazione quadratica del moto Browniano. Martingale BV.

• Lezione 18: Martingale locali. Semimartingale continue e unicità dalla decomposizione. Processo variazione quadratica. Integrale Browniano di processi semplici.

• Lezione 19: Integrale Browniano di processi semplici: isometria di Ito, proprietà di martingala dell’integrale e variazione quadratica dell’integrale stocastico. Integrale stocastico in L^2.

• Lezione 20: Integrale stocastico in L^2_loc: definizione e proprietà. Processi di Ito. Integrale rispetto ad una semi-martingala continua.

• Lezione 21: Processi di Ito. Formula di Ito per semi-martingale continue. Il caso particolare del moto Browniano. Esempi. Formula di Ito e operatore del calore.

• Lezione 22: Formula di Ito per processi di Ito. Processi di Ito a coefficienti deterministici. Integrale stocastico e formula di Ito multi-dimensionale.

• Lezione 23: Esempi sulla formula di Ito multi-dimensionale

• Lezione 24: Disuguaglianza di Burkholder-Davis-Gundy. Applicazione al caso dell’integrale stocastico. Moto Browniano e problema di Dirichlet per l’operatore di Laplace. 

• Lezione 25: Formula di Feynman-Kac per il moto Browniano. Un esempio di un processo non di Markov. Riepilogo dei contenuti del corso. 

Corso on-line introduttivo in 12 lezioni

Materiale: dispensa del corso e lavagne in formato pdf

Programma:

• Lezione 1: Esempi di SDE in finanza, fisica e ingegneria. Ripasso su processi e formula di Ito uno-dimensionale. Processo variazione quadratica.

• Lezione 2: Set-up canonico e misura di Wiener. Risolubilità in senso debole e forte di SDE.

• Lezione 3: Risolubilità debole e problema della martingala di Stroock-Varadhan. Unicità forte e debole. Stime L^p e di continuità nel tempo di integrali stocastici.

• Lezione 4: Unicità forte per SDE. Teorema di esistenza, proprietà di flusso e di Markov per SDE.

• Lezione 5: Dimostrazione del teorema di esistenza, proprietà di flusso e di Markov. Equazione di Kolmogorov forward (Fokker-Planck).

• Lezione 6: Equazione di Kolmogorov backward. Equazioni stocastiche lineari. Esempio di Langevin. Soluzione esplicita.

• Lezione 7: Equazioni stocastiche lineari: non-degenerazione della matrice di covarianza. Esempio di Langevin. Relazione con la controllabilità di un sistema lineare.

• Lezione 8: Equazioni stocastiche lineari, condizione di Kalman e condizioni di Hormander. Esempi: Vasicek, Brownian bridge, Ornstein-Uhlenbeck

• Lezione 9: Stime a priori di sommabilità L^p ed esponenziale per soluzioni di equazioni stocastiche.

• Lezione 10: Dipendenza continua dai parametri di una diffusione. Tempo di uscita da un dominio limitato.

• Lezione 11: Teorema di rappresentazione di Feynman-Kac: il caso autonomo. Esempi.

• Lezione 12: Teorema di rappresentazione di Feynman-Kac: il caso deterministico e il metodo delle caratteristiche; il caso parabolico e il problema di Cauchy. Square-root process. Cenno a equazione del calore stocastica e teoria dei segnali. Cenno alle equazioni backward stocastiche.