Clases

Martes 8 de agosto

Vimos la definición de sigma-álgebra y ejemplos.

Miércoles 9 de agosto

Vimos mas ejemplos y propiedades de sigma-algebras (teorema 1.6 de Grabinsky).

Jueves 10 de agosto

Vimos la definición de boreleanos y dos familias generadoras de los mismos.

Vimos la definición de anillos y un ejemplo.

Lunes 14 de agosto

Vimos la definición de espacio medible y de función medible, (con algunos ejemplos).

Martes 15 de agosto

Vimos mas ejemplos de funciones medibles:

• Funciones S-simples (i.e. medibles que toman un numero finito de valores)
• Funciones semi-continuas, superior e inferior mente
• Funciones monótonas

Miércoles 16 de agosto

Vimos el lema básico de aproximación que dice:

• Si f:X \to R, es una función medible, con valores mayores o iguales a cero, existe una sucesión, monótona creciente, acotada por f, de funciones S-simples, que converge puntualmente a f. Además, si f es acotada, la convergencia es uniforme en X.

También vimos el segundo lema de aproximación

• Si f:X\to R, es una función medible, existe una sucesión de funciones S-simples, que en valor absoluto estan acotadas por |f|, que converge puntualmente a f. Además, si f es acotada, la convergencia es uniforme en X.

Jueves 17 de agosto

Vimos que las funciones medibles son cerradas bajo

• mínimos
• máximos
• supremos
• ínfimos
• límites inferiores y límites superiores

También vimos algunos ejercicios.

Entre otros demostramos:

Martes 22 de agosto

Vimos que las funciones medibles son cerradas bajo límites puntuales.

Vimos que una función f:X \to R, es medible si y sólo si f es el límite puntual de una sucesión de funciones S-simples.

Vimos que las funciones medibles son cerrados bajo: sumas, multiplicaciones escalares, multiplicaciones de funciones y divisiones (por funciones que no se hacen cero).

Definimos la recta real extendida y los borealianos extendidos.

Miércoles 23 de agosto

Vimos que una función con valores reales extendidos es medible sii es límite (extendido) de funciones simples.

Vimos que una función, f, con valores extendidos es medible si:

(i) la imagen inversa de +infinito, -infinito son elementos de la sigma algebra

(ii) la función que coincide con f, excepto en los valores +infinito, -infinito, donde se define como cero, es medible

(en el sentido usual ).

Se definió la suma de funciones que toman valores extendidos.

Jueves 24 de agosto

Vimos la definición de medida.

Vimos el ejemplo de la delta de Dirac y la medida de conteo.

Martes 29 de agosto

Vimos una equivalencia para que una serie convergiese.

Vimos el ejemplo de medidas sobre la potencia de los naturales.

Miércoles 30 de agosto

Martes 5, Miércoles 6 de septiembre

Hicimos ejercicios, como repaso para el examen

Martes 12 de septiembre

Empezamos a ver integrales de funciones simples no negativas

Miércoles 13 de septiembre

Vimos la definición de integrales de funciones medibles no negativas.

Jueves 14 de septiembre

Vimos propiedades de la integral y el Teorema de la Convergencia monótona.

Viernes 15 de septiembre

Vimos el Lema de Fatou.

Martes 19 de septiembre

Empezamos a ver la comparación entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue.

Lunes 2 de octubre

Reanudamos clases haciendo un repaso. Llegamos hasta el capítulo 4, teorema de la convergencia monótona y lema de Fatou (de Grabinsky).

Martes 3 de octubre

Dada una función f, acotada, definimos

y se probó que g es continua inferiormente (de manera similar, h es continua superiormente).

Además, se construyeron particiones del intervalo [a,b], que satisfacen

Miércoles 4 de octubre

Probamos el lema

y el Teorema de Lebesgue

Jueves 5 de octubre

Vimos pendientes de la demostración del teorema del día anterior.

Como aplicación vimos

También vimos el ejercicio 43.

Martes 10 de octubre

Definimos a las funciones integrables.

La integral, sobre un medible E, se define como:

Probamos la linealidad de la integral.

Miércoles 11 de octubre

Vimos...

Jueves 12 de octubre

Vimos una aplicación del teorema de la convergencia monótona. Después empezamos el capítulo 5, de espacios Lp. Probamos la desigualdad de Young.

Martes 17 de octubre

Jueves 19 de octubre

Terminamos la demostración del Teorema de Riesz-Fisher (completez de Lp)

Viernes 3 de noviembre

Hicimos ejercicios 61, 64 del libro de Grabinsky.

6-10 de noviembre

Inti empezó el capítulo 7.

14 de noviembre

Hicimos un resumen del capítulo 7, vimos la existencia y unicidad de la medida de Lebesgue.

Hicimos el ejercicio 81 del libro de Grabinsky.

15 de noviembre

Hicimos el ejercicio 83 y 85 de Grabinsky.

16 de noviembre

Hicimos el ejercicio 87 y 89.

21 de noviembre

Empezamos el capítulo 8 de Grabisnky.

Vimos los conjuntos de Vitalli y que las cardinalidades de los Lebesgue medible, los no medibles y el de la potencia de R son todas iguales.

22 de noviembre

Vimos los lemas básicos de aproximación para subconjuntos Lebesgue medibles ( que es pueden aproximar por abajo con cerrados y por arriba con abiertos).

23 de noviembre

Vimos que la medida de Lebesgue es una medida regular es decir, para un subconjunto Lebesgue medible, E, se cumple:

Además, vimos un bosquejo del ejercicio 93.

28 de noviembre

Del libro de Grabinsky hicimos los ejercicios: 97,103 y 105.

29 de noviembre

Empezamos el tema de modos de convergencia.

Vimos convergencia casi donde quiera, convergencia casi uniforme y el Teorema de Egorov.

30 de noviembre

Vimos el Teorema de la Convergencia Dominada de Egorov.

Vimos convergencia en L_p y el Teorema de la Convergencia Dominada en L_p.