حل معادلة من الدرجة الثانية

في مقالنا سنتناول طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية لطلاب الصف التاسع الاعدادي المتوسط وحتى لطلاب الثانوي ممن نسيو كيفية حل المعادلات الصعبة منها. وسنتناول حل المعادلة في مجموعة الأعداد الحقيقية والعقدية. بالاضافة إلى تمارين متنوعة وحالات متعددة.

بداية وقبل حل المعادلة من الدرجة الثانية لابد لنا من فهم الصيغة العامة للمعادلة والتي تكون على الشكل:

ax^2+bx+c = 0

حيث يمثل العدد الثابت a أمثال x مربع. والعدد b امثال x والعدد c ثابت عددي وهو العدد غير المرتبط بـx أو x مربع.

قد يكون b= 0 وبالتالي لا وجود لـ x وقد يكون c = 0 أي لا وجود للعدد الثابت. ولكن لا يمكن أن يكون a = 0 لأن ذلك يعني عدم وجود x^2 وبالتالي لا تصبح المعادلة من الدرجة الثانية. وبالتالي نستنتج شرط المعادلة من الدرجة الثانية

a ≠ 0

لحل معادلة من الدرجة الثانية لا بد لنا من التفريق بين 3 حالات يحددها المميز دلتا والذي يساوي:

Δ  = b2-4*a*c 

والحالات الثلاث لـ دلتا هي:

1. دلتا أكبر من الصفر

2. دلتا اصغر من الصفر

3. دلتا يساوي الصفر

في الحالة الأولى عندما يكون دلتا أكبر من الصفر يكون للمعادلة حلان (أو جذران) لـ x. أي توجد قيمتان تكون من اجلهما المعادلة محققة وقابلة للحل.

في الحالة الثانية عندما تكون دلتا أصغر من الصفر تكون المعادلة مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية. وتكون قابلة للحل في مجموعة الأعداد العقدية او التخيلية.

أما الحالة الثالثة والتي بيساوي فيها دلتا للصفر. تكون المعادلة قابلة للحل ولكنها حالة خاصة من الحالة الأولى ويكون للمعادلة حل وحيد من أجله فقط تتحقق المعادلة.

حل المعادلة من الدرجة الثانية التالية:

3x2 + 4x + 1 = 0 

في البداية نوجد قيمة دلتا:

Δ  = b2-4*a*c

Δ  = 42-4*3*1

=4>0

كما نلاحظ فإن المميز دلتا أكبر من الصفر. إذن المعادلة تقبل حلين في مجموعة الأعداد الحقيقية يكون الحلان:

الآن لنعوض بالأرقام قيم a و b و c و دلتا:

x1 = (-4 + √4) / (2*3)

x1 = (-4 + 2) / (6) = -1/3

الحل الأول للمعادلة.

x2 = (-4 - √4) / (2*3)

x1 = (-4 - 2) / (6) = -1

الحل الثاني للمعادلة.

وبالتالي تكون حلول المعادلة السابقة هي -1/3 و -1.

التمرين الثاني

أوجد حل المعادلة  التربيعية من الدرجة الثانية التالية:

4x2 + 4x + 1 = 0 

في البداية نوجد قيمة دلتا:

Δ  = b2-4*a*c

Δ  = 42-4*4*1

=0

ونلاحظ إن المميز دلتا يساوي من الصفر. إذن المعادلة تقبل حلا وحيدا في مجموعة الأعداد الحقيقية يكون الحل:

نقوم بتعويض القيم الثابتة  a و b و c:

x1,2 = (-4) / (2*4) = -0.5

وهو الحل الوحيد للمعادلة وهو جذر مضاعف.

الآن نأتي إلى الحالة الأخيرة وهي عندما تكون قيمة المحدد دلتا أصغر من الصفر وفي هذه الحالة كما أسلفنا تكون المعادلة مستحيلة الحل لأنه لا يمكن جذر العدد السالب. لذا نلجأ هنا إلى مجموعة جديدة من الأعداد تفوق المجموعة الحقيقة ح. وهي مجموعة الأعداد التخيلية أو العقدية. حيث نتخيل أن للعدد السالب جذرا  يسمى imaginary أو اختصارا  i.

مثلا يمكننا أن نجد جذر العدد السالب -1 ليكون -i. أي:

√-1 = i

وجذر الرقم السالب -4 على سبيل المثال -2i, يمكن للطالب باختصار وسهولة تبديل كل إشارة سالب بـ i عند الجذر. والآن نأتي إلى المثال:

أوجد حل المعادلة من الدرجة الثانية التالية في مجموعة الأعداد العقدية:

2x2 + 4x + 4 = 0 

أولا نوجد قيمة دلتا:

Δ  = b2-4*a*c

Δ  = 42-4*2*4

=16-32 = -16

وكما نرى دلتا أصغر تماما من الصفر. إذن المعادلة ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية ولايجاد الحل في مجموعة الأعداد العقدية نوجد جذر دلتا:

√Δ = √-16 = 4i

اللمعادلة جذرين تخيليين, يتألف كل جذر من قسمين قسم حقيقي وقسم تخيلي. ويتم حساب الجذرين وفق الصيغة:

x1 = (-4 + 4i) / (2*2)

x1 = -1+i

الحل الأول للمعادلة.

x2 = (-4 - 4i) / (2*2)

x2 = -1-i

نتمنى لكم فائدة كاملة. يمكنك عزيزي الطالب الاطلاع على برنامج حل معادلة من الدرجة الثانية