اكمال المربع لحل المعادلات التربيعية

حل المعادلات التربيعية بطريقة اكمال المربع. قد يصعب في بعض الاحيان ايجاد حل بعض المعادلات. فنلجأ إلى طريقة جديدة وجميلة تسمى قانون المربع الكامل أو إكمال المربع.

الطريقة سهلة جدا ولكن تحتاج منا إلى بعض التركيز ويمكن بتلك الطريقة حل حتى المعادلات مستحيلة الحل في ح والتي يمكن حلها في مجموعة الأعداد العقدية. هل أنتم مستعدون للتعلم؟

لتكن لدينا المعادلة التربيعية التالية:

x2+16x+64=0

من شروط الحل باتمام المربع أن يكون:

1. الحد الأول (اكس مربع) مربعا كاملا. وهو كذلك حيث يساوي x.x

2. ان يكون الحد الأخير الثالث مربعا كاملا ايضا وهو كذلك حيث يساوي  8×8 (وأن يكون موجبا)

3. ان يكون الحد الأوسط يساوي 2 × الحد الاول × الحد الأخير.

ونلاحظ فعلا أن المعادلة السابقة تحقق الشروط الثلاثة معا. وبالتالي يمكن تحليلها بشكل مباشر إلى شكل قوس مربع على الشكل التالي:

(x + 8)2  = 0

حيث يكون داخل القوسين الحد الأول هو جذر الحد الأول في المعادلة أي x. والحد الثاني يكون جذر الحد الأخير في معادلتنا أي جذر 64 وهو الرقم 8. أما الاشارة بين الحدين هي إشارة الحد الأوسط وكما نرى فان اشارة الحد الاوسط موجبة.

ولكن في بعض الأحوال لا سكون الحد الاخير مربعا كاملا لذا يجب أن نحوله إلى مربع كامل كما في مثالنا التالي: ليكن لدينا المعادلة:

x2-6x+d=0

اوجد قيمة d التي تجعل الحد الثالث مربعا كاملا. لايجاد قيمة d نقوم باتباع خطوتين:

1. ايجاد نصف أمثال الحد الأوسط x

2. تربيع الناتج

وبالتالي فإن نصف أمثال الحد الأوسط يكون:

-6/2=-3 

والآن نربع الناتج فيكون

(-3)2=9 

وبالتالي يكون الحد الأير مربعا كاملا يجب ان تكون قيمته 9.

حل المعادلة باكمال المربع. الآن نأتي إلى أول مثال تطبيقي حول حل المعدلات التربيعية بطريقة اكمال المربع. ولتكن لدينا المعادلة التالية المطلوب حلها:

x2-12x=3

نلاحظ أن الحد الاول (اكس مربع) مربعا كاملا. ويبقى علينا إيجاد الحد الأخير الذي يصلح لاتمام المعادلة إلى المربع الكامل. تعلمنا إيجاد الحد الأخير d بخطوتين:

1. نقسم امثال الحد الاوسط على 2 وبالتالي يكون -6

2. نربع الرقم الناتج لدينا فيكون 36

ولكي لا يختل توازن المعادلة نضيف 36 لطرفي المعادلة فيكون:

x2-12x+36=3+36
x2-12x+36=39

الآن نكتب الطرف الأول من المعادلة كما تعلمنا على شكل قوس مربع:

(x - 6)2  = 39

الحد الأول في القوس يساوي جذر الحد الأول من المعادلة أي جذر x2 . والحد الثاني في القوس يساوي جذر الحد الأخير من المعادلة أي جذر 36 وهو الرقم 6. والاشارة بين الحديث داخل القوس سالبة من إشارة الحد الأوسط 12x.

الآن نقوم بجذر طرفي المعادلة فيكون:

(x - 6)  = ± √ 39
x  =  + 6 ± √ 39

وبالتالي يكون للمعادلة حلان هما:

x1  =  6 + √ 39
x2  =  6 - √ 39

الآن لدينا تمرين أو مثال مختلف حول حل المعادلة التربيعية بامربع الكامل او اكمال المربع. ولتكن لدينا المعادلة من الدرجة الثانية التالية:

3x2-3x-27=0

نلاحظ أولا أن الحد الأول ليس مربعا كاملا ولا بد من تحويله إلى مربع كامل بالتخلص من أمثال (الرقم 3). لذا نقوم بتقسيم طرفي المعادلة على 3 فيكون:

1x2-1x-27/3=0
x2-x-9=0

الآن أصبح الحد الأول مربعا كاملا. إلا أن الحد الأخير -9 لا يحقق الشرط لأن إشارته سالبة . وبالتالي يجب إيجاد قيمة الحد الأخير ليحقق الشرط كما تعلمنا: نقسم أمثال الحد الأوسط -1 على 2 فيكون -0.5 ثم نربع الناتج فيكون +0.25.

الآن نضيف ونطرح من الحد الأول من المعادلة 0.25  كي لا يختل توازنها.

x2-x +0.25 -0.25 -9=0

الآن نتمم الحد المطلوب إلى مربع كامل وهذا الحد هو: x2-x +0.25 ليكون:

(x - 0.5)2

ونجمع باقي الأعداد في المعادلة -0.25 -9 مع بعضها ليكون:

(x - 0.5)2  -9.25= 0
(x - 0.5)2 = +9.25

x - 0.5 = ±√9.25

وبالتالي يكون لدينا حلان للمعادلة هما:

x1  =  0.5 + √ 9.25 = 3.54
x2  =  0.5 - √ 9.25 = -2.54

للاطلاع على المزيد من التمارين حول حل المعادلات التربيعية بطريقة قانون المربع الكامل يمكنك الاطلاع على المقال.