Cursillos

Introducción a la teoría de representaciones de grupos compactos.

Abstract

En este cursillo estudiaremos las bases de la teoría de representaciones de grupos topológicos compactos. El curso iniciara con un breve estudio de grupos localmente compactos. A continuación procederemos al estudio de integración sobre grupos compactos, donde jugara un papel fundamental la medida de Haar. Probaremos la existencia y unicidad de la medida de Haar y daremos una breve introducción a la función modular y los grupos unimodulares. Con esto en mano, empezaremos el estudio de representaciones de grupos localmente compactos. Nos restringiremos principalmente a las representaciones en espacios de Hilbert complejos, pese a que en general uno puede estudiar representaciones en espacios vectoriales topológicos. Nos enfocaremos principalmente en el mundo donde todo funciona bonito: las representaciones unitarias de grupos compactos. El objetivo principal del curso es demostrar el teorema de Peter-Weyl y sus impresionantes aplicaciones. Si el tiempo lo permite, daremos una breve introducción a la dualidad de Pontryagin de grupos abelianos.

Moraleja: ¡El análisis armónico (abstracto) es teoría de representaciones!

Prerrequisitos

Se asume familiaridad con la teoría básica de la topología general, teoría de la medida y espacios de Hilbert. Usaremos solamente en un teorema cuestiones básicas de la teoría espectral de operadores acotados sobre espacios de Hilbert, pero la demostración de este teorema puede simplificarse si el participante trabaja en dimensión finita, donde la demostración recae en pura ´algebra lineal. Un poco de familiaridad con teoría de representaciones de grupos finitos (en característica cero, como se vio en el cursillo de Introducción a la teoría de representaciones de grupos finitos de la Escuela de Álgebra Amarun-EPN 2020) resultaría muy útil para las analogías, pero no es indispensable. Conocimientos solidos de álgebra lineal vienen a lugar.