Agenda

Bienvenida

Teorías de homología y cohomología en la geometría de Poisson

Juan Pablo Roggiero

Abstract

Presentaremos las dos teorías de (co)homología asociadas a una variedad de Poisson. Para la teoría de cohomología necesitaremos una generalización de la cohomología de DeRham de variedades diferenciables a algebroides de Lie.

Cursillo: Introducción a la Teoría de representaciones de grupos compactos.

Carlos Ajila

Cursillo: Introducción a la Teoría de representaciones de grupos compactos.

Carlos Ajila

Divulgativa: Variedades Tóricas ¿Por qué y para qué?

Leonardo Montoya

Abstract

Introduciremos la Geometría algebraica y su objeto principal de estudio: las Variedades Algebraicas. Luego mostraremos la idea de construcción y la estructura de un tipo específico de variedad, llamado Variedad Tórica y presentaremos rápidamente sus propiedades y el por qué son, hoy por hoy, una de las principales áreas/herramientas de estudio de la geometría algebraica moderna.

Divulgativa: Una extensión de las funciones de Schur y la interpretación combinatorial de sus coeficientes de estructura

Luis Cárdenas

Abstract

Se estudia una extensión de los polinomios de Schur, dada por una extensión de la identidad de Jacobi-Trudi, y se demuestra una conjetura de no negatividad sobre sus coeficientes mediante una demostración combinatoria.

Cursillo: Introducción a la Teoría de representaciones de grupos compactos.

Carlos Ajila

Divulgativa: Elliptic Curves, BSD and Heegner Points

Emiel Haakma

Abstract

We will become familiar with elliptic curves, which are a crucial object of study in modern algebraic geometry. Afterwards, will discuss one of six remaining unsolved millennium problems and one of many strategies used to solve specific cases of it. Heegner Points mix complex analysis, number theory, algebra, and geometry to solve one of the most common and difficult questions in algebraic geometry, namely finding rational points on elliptic curves.

(This talk will be given in English)

Divulgativa: Un algoritmo de clasificación de imágenes basado en el Análisis Topológico de datos

David Pazmiño

Abstract

En la charla se presenta una breve descripción de uno de los métodos usados en el análisis topológico de datos, su vectorización y su uso en un problema de clasificación.

En resumen, cada imagen se transforma en un espacio topológico. Se calculan invariantes de éste (homología persistente), se vectoriza el resultado mediante "paisajes persistentes", y finalmente se ingresa dichos datos en un algoritmo de clasificación.

La charla mostrará un ejemplo práctico de los temas que serán tratados un tanto más profundamente en el curso de "introducción al análisis topológico de datos y a la homología persistente".

Cursillo: Introducción a la Teoría de representaciones de grupos compactos.

Carlos Ajila

Divulgativa: Modelos finitos de variedades topológicas de dimensión 2 mediante grafos dirigidos

Roberto Torres

Divulgativa: El árbol de Bruhat-Tits de SL2 y sus aplicaciones para estudiar subgrupos aritméticos de GL2

Claudio Bravo

Abstract

Sea C una curva proyectiva suave definida sobre un cuerpo finito F. Sea ℘ un punto cerrado de la curva C. El anillo A de funciones regulares en C fuera de {℘} es un anillo de Dedekind. El cuerpo k de funciones racionales de C viene naturalmente equipado con la valuación discreta ν : k → Z ∪ {∞} definida por ℘. Denotamos por K a la completación de k definida por ν. Un subgrupo aritmético de GL2(k) es un subgrupo de GL2(k) que es conmensurable con GL2(A).

En esta charla introduciremos en árbol de Bruhat-Tits asociado a SL2(K). Luego, estudiaremos sus múltiples aplicaciones al estudio de subgrupos aritméticos de GL2(k). Finalmente, si el tiempo lo permite, comentaremos la forma de extender el estudio anterior a grupos algebraicos escindidos de rango mayor al de SL2.

Cursillo: Introducción a la Teoría de representaciones de grupos compactos.

Carlos Ajila

Some exotic metric spaces

István Mezõ

Abstract

We get familiar with the notion of metric and metric space during the very first semester of our university studies. The way of measuring distance between objects like vectors (to get an Euclidean space), or functions (to get L^p spaces, for example) is very well-known, and it has many applications all over math and outside. Usually we do not think about it, but metric structures can be worked out for unusual things like combinatorial or number theoretical objects. In our talk, we learn about some exotic metric spaces of this kind.

(This talk will be given in English)

Cursillo: Introducción a la Homología persistente y al Análisis topológico de datos

David Pazmiño

Ideas y algunos resultados de representación de Formas Cuadráticas enteras

María Inés Icaza

Abstract

En esta charla introduciremos ciertas ideas, resultados y problemas de la Teoría Aritmética de Formas Cuadráticas. Incluiremos algunas revisiones históricas que motivan el desarrollo de la teoría y cómo la evolución de ésta ha permitido ir resolviendo problemas clásicos de representación de formas cuadráticas con coeficientes en el anillo de enteros Z.

Cursillo: Introducción a la Homología persistente y al Análisis topológico de datos

David Pazmiño

Divulgativa: On the local behaviour of symmetric differentials at the blow-up of Du Val singularities

Zhe Xu

Abstract

Du Val singularities appear in the classification of algebraic surfaces and other areas of algebraic geometry. Wahl's concept of local Euler characteristics of sheaves helps in describing the properties of these singularities. We consider the sheaf of symmetric differentials and compute one ingredient of the local Euler characteristic: the codimension of those symmetric differentials that extend to the blow-up of the singularity in the space of those that are regular around it. For singularities of type A_n, we show that this codimension can be expressed combinatorially as a lattice point count in a polytope. Ehrhart's quasi-polynomials allow us to find closed expressions for this codimension as a function of the symmetric differential degree. We expect our method to generalize to all Du Val singularities.

(This talk will be given in English)

Divulgativa: Sobre las bases pre-canónicas

Yamil Sagurie

Abstract

Dado un sistema de raíces afín y su correspondiente grupo de Weyl, las bases pre – canónicas corresponden a una familia de bases del algebra de Hecke esférica. Estas bases reciben dicho nombre pues se interpolan entre la base canónica (Base de Kazhdan-Lusztig) y la base estándar del algebra, dando así un camino más accesible, dividido en una cantidad finita de pasos para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig (y con esto sus q - análogos). La presentación se dividirá en una pequeña introducción (basada en ejemplos) de sistemas de raíces afines para posteriormente definir las bases pre-canonicas y mostrar con ejemplos su comportamiento.

Cursillo: Introducción a la Homología persistente y al Análisis topológico de datos

David Pazmiño

Charla divulgativa: Equitable choosability of graphs

Suzanne O’Hara

Graph colorings is a rich area of combinatorial studies. Equitable colors were defined as ensuring that a proper n-coloring could be produced with no color being used on more than 1/n-th of the vertices. List colorings were first described in a paper by Erdös, Rubin, and Taylor in the 1970s. In 2003 the notion was later expanded to the notions of equitable and proportional choosability. In this talk, I will define and give examples of a graph’s eqitable chromatic number, and equitable choosability.

(This talk will be given in English)

Divulgativa: Polinomios de Macdonald y reglas de Pieri

Manuel Concha

Abstract

Las funciones simétricas se encuentran en distintas áreas de la matemática y física, es por esto que para entenderlas es bueno encontrar diferentes bases para el espacio generado por ella. En esta charla mostraremos algunas bases para el espacio de las funciones simétricas y veremos sus reglas de Pieri, que muestran cómo se obtiene el producto entre ellas de una manera combinatorial. Por último, extenderemos ciertos polinomios para definir los polinomios de Macdonald y mostraremos que, a pesar de su generalidad, tienen reglas de Pieri asociadas.

Cursillo: Introducción a la Homología persistente y al Análisis topológico de datos

David Pazmiño

Divulgativa: Ecuaciones diferenciales, una perspectiva algebraica

Carlos Ajila

Abstract

En esta charla divulgativa, presentaremos una breve introducci´on a la teor´ıa de D-m´odulos algebraicos, lo que nos permitir´a dar una caracterizaci´on algebraica del concepto de soluci´on de una ecuaci´on diferencial. Tambi´en presentaremos una ´ıntima relaci´on del concepto de D-m´odulo algebraico con otros objetos tales como los sistemas locales (y su relaci´on con la monodrom´ıa) y las conexiones planas. En particular, mostraremos que si (X, O_X) es una variedad anal´ıtica compleja conexa, si x0 ∈ X es un punto y D_X denota el haz de operadores diferenciales sobre X, entonces existen equivalencias de categor´ıas

QCoh(D_X) ∼ = LocSys(X) ∼ = Rep_C(π_1(X, x_0)),

donde QCoh(D_X) es la categor´ıa de D-m´odulos algebraicos sobre X, quasicoherentes sobre O_X y equipados con una conexi´on plana (equivalentemente, la categor´ıa de D_X-m´odulos quasicoherentes), LocSys(X) es la categor´ıa de sistemas locales sobre X, y Rep_C(π_1(X, x_0)) es la categor´ıa de representaciones complejas (lineales) del grupo fundamental π_1(X, x_0) de la variedad X.

Divulgativa: Caracteres de representaciones del Álgebra de Cherednik racional para el grupo G(ℓ,1,n)

Elizabeth Manosalva

Abstract

Sea h un C-espacio vectorial de dimensión finita y h∗ su espacio dual. Sea W un subgrupo finito de transformaciones lineales de h y R el conjunto de reflexiones de W. El álgebra de Cherednik racional asociado a (W, h) con parámetro de deformación c=(c_r)_{r∈R} es el subálgebra H_c de End(C[h]) generado por el grupo W, el anillo C[h] y los operadores de Dunkl D_y indexados por y ∈ h.

Los H_c-modulos irreducibles están indexados por E ∈ Irr(CW) y denotamos por L_c(E) al Hc-módulo irreducible indexado por E ∈ Irr(CW). Para L_c(E) una representación irreducible del álgebra de Cherednik racional el carácter de Kazhdan-Lusztig de Lc(E) está dado por

ch_{KL}(L_c(E)) = Sum_i{dim(Ext^i(∆_c(F)_i, L_c(E))[F]q^i}

donde q es una variable formal.

En esta charla presentaré una fórmula combinatoria no negativa, en términos de números de Littlewood-Richardson, para calcular el carácter de Kazhdan-Lusztig para el álgebra de Cherednik racional asociada al grupo de reflexiones complejas G(ℓ, 1, n), obtenida en un trabajo en conjunto con S. Griffeth y S. Fishel.

Cursillo: Introducción a la Homología persistente y al Análisis topológico de datos

David Pazmiño

Una introducción a los fibrados de Ulrich y algunos resultados recientes

Pedro Montero

Abstract

Una introducción a la teoría de fibrados de Ulrich y revisaremos algunas de las técnicas recientes para construir dichos fibrados en dimensión pequeña. Para esto, recordaremos las nociones de geometría algebraica necesarias para comprender la mayoría de los conceptos involucrados y daremos ejemplos provenientes de la geometría clásica; Además, presentara resultados sobre caracterización de variedades proyectivas cuyo fibrado tangente es Ulrich (la respuesta resulta ser sorprendentemente sencilla). Esto último es un trabajo en conjunto a Vladimiro Benedetti (Universidad de Bourgogne), Yulieth Prieto (Universidad de Bologna) y Sergio Troncoso (UTFSM Valparaíso).

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