[30/11/2021] La lezione del 7 dicembre p.v. verrà tenuta dalla prof.ssa Francesca Pelosi.

[13/10/2021] Calendario delle lezioni con la suddivisione tra i docenti Francesca Pelosi ed Alfonso Sorrentino.

[29/09/2021] Il corso di Analisi Armonica (LM Matematica) inizierà martedì 12 ottobre.

Introduzione all’analisi armonica classica: serie di Fourier e loro convergenza, Trasformata di Fourier, applicazioni, analisi di Fourier su gruppi, etc. Introduzione alle funzioni wavelets e alla Trasformata wavelet. Cenni alle applicazioni nell’ambito dell’elaborazione di immagini.

Per maggiori dettagli, si veda la Guida didattica 21/22.

[12/10/2021] Introduzione agli argomenti del corso e motivazioni. Funzioni periodiche e loro proprietà. Richiami sugli spazi di Hilbert: definizione ed esempi, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, uguaglianza del Parallelogramma, ortogonalità e ortogonale di un insieme, proiezione ortogonale su sottospazi chiusi, i sottospazi finito-dimensionali sono chiusi; base ortonormale di uno spazio di Hilbert e diverse caratterizzazioni; disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parseval.
Lo spazio L^2_T delle funzioni periodiche di quadrato integrabile è uno spazio di Hilbert; la famiglia {e^inx}n∈Z è una base ortonormale di L^2_2𝛑. Definizione di coefficienti di Fourier e di seria di Fourier di una funzione periodica in L^2_T; convergenza in norma L^2 della serie di Fourier e decadimento a zero dei coefficienti di Fourier (Lemma di Riemann-Lebesgue). Interpretazione dei polinomi di Fourier di grado N come migliori polinomi trigonometrici di grado al più N, approssimanti la funzione nella norma L^2 (proiezione ortogonale sullo spazio dei polinomi trigonometrici di grado al più N).
Definizione di coefficienti di Fourier e di seria di Fourier di una funzione periodica in L^1_T e prime proprietà.

[13/10/2021] Definizione dell'operatore di traslazione e calcolo dei coefficienti di Fourier di una funzione traslata. Stima dei coefficienti di Fourier in termini della norma L¹(T) della funzione (conseguenza, i coefficienti di Fourier di una successione di funzioni convergente in L¹(T), convergono uniformemente ai coefficienti di Fourier della funzione limite). Lemma di Riemann-Lebesgue per funzioni in L¹_2π . Prodotto di convoluzione di funzioni in L¹_2π: definizione e proprietà. Calcolo dei coefficienti di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni. Non esistenza in L¹(T) di un elemento neutro rispetto alla convoluzione. Definizione del nucleo di Dirichlet e riscrittura delle somme parziali di Fourier come convoluzione col nucleo di Dirichlet. Definizione di identità approssimata (u_n)_n in L¹(T) . Il nucleo di Dirichlet non è un'identità approssimata in L¹(T) . Dimostrazione della convergenza della convoluzione f*u_n ad f, nella norma L¹ (se la funzione è limitata, nei punti di continuità di f, convergenza è puntuale; per funzioni continue, la convergenza è uniforme). Continuità dell'operatore di traslazione nella norma L¹ e nella norma uniforme (per funzioni continue).

[14/10/2021] Definizione di somme di Cesàro e relazione con la convergenza in senso classico. Somme di Cesàro della serie di Fourier e convoluzione col nucleo di Féjer. Definizione di nucleo di Féjer come media dei nuclei di Dirichlet. Rappresentazione esplicita del nucleo di Féjer. Dimostrazione che il nucleo di Féjer è un'identità approssimata. Reinterpretazione dei risultati di convergenza ottenuti per la convoluzione con un'identità approssimata, nel caso della convoluzione con il nucleo di Féjer: convergenza in L¹ delle somme di Cesàro della serie di Fourier di una funzione L¹(T) ; convergenza uniforme delle somme di Cesàro per funzioni continue). Se due funzioni L¹(T) hanno gli stessi coefficienti di Fourier, allora coincidono quasi ovunque. Dimostrazione (usando il nucleo di Féjer) che i polinomi trigonometrici sono densi L¹(T) e in C(T). Una condizione sufficiente per convergenza q.o dell serie di Fourier di una funzione L¹(T) : se i coefficienti sono assolutamente sommabili (i..e, sono in ℓ¹), allora la serie di fourier converve q.o. alla funzione.
Velocità di decadimento dei coefficienti di Fourier (in termini di "o" piccolo) per funzioni: a) assolutamente continue, b) derivabili k volte con derivata (k-1)-sima assolutamente continua. Se i coefficienti decadono come O(1/n^{q+1+\epsilon}) con \epsilon>0, allora la funzione coincide quasi ovunque con una funzione C^q. Velocità di decadimento per funzioni regolari a tratti O(1/n) e per funzioni C^q-1 con derivata q-sima regolare a trattizioni O(1/n^q+1).

[19/10/2021] Legame tra la il modulo di continuità in L¹ della funzione e la velocità di decadimento dei coefficienti di Fourier. Corollario: velocità di decadimento delle funzioni funzioni Hölderiane. Teorema di Dirichlet su convergenza uniforme di Serie di Fourier di funzioni C^1 (o continue con derivata continua a tratti) Convergenza puntuale della serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Principio di Localizzazione, Criterio di Dini ed applicazione alle funzioni regolari a tratti. Esistono funzioni in L¹(T) i cui coefficienti di Fourier decadono a zero in maniera arbitrariamente lenta. Una successione {a_n}_n∈Z pari, infinitesima e pari (a_n-1+a_n+1-2a_n ≧ 0 per ogni n) corrisponde ai coefficienti di Fourier di una funzione in L¹(T).

[20/10/2021] Dimostrazione che se se {a_n}_n∈Z sono una successione dispari, coefficienti di Fourier di una funzion L¹(T), allora ∑_n≧1c_n/n è una serie convergente Esempi: ∑_n≧2(cos nx)/log n è la serie di Fourier di una funzione in L¹(T), mentre ∑_n≧2(sin nx)/log n non lo è (pur essendo una serie trigonometrica convergente); quindi non tutte le serie trigonometriche convergenti sono serie di Fourier.
Fenomeno di Gibbs: enunciato e dimostrazione nel caso della funzione che vale 1 per 0<x<Pi e -1 per -Pi<x<0. Enunciato ed idea della dimostrazione nel caso generale.

[21/10/2021] Convergenza in norma delle serie di Fourier in uno spazio di Banach omogeneo B (in seguito B=L^p(T) oppure C(T)). Dimostrazione che la proprietà della convergenza in norma è equivalente all'uniforme limitatezza degli operatori "somme di Fourier troncati". Dimostrazione che se B=L¹(T) oppure C(T), allora non vale la proprietà della convergenza in norma. Definizione di serie di Fourier coniugata. Dimostrazione che uno B gode della proprietaà della convergenza in norma se e solo se l'operatore di "serie di Fourier coniugata" si estende ad un operatore limitato su B, se e solo se l'operatore proiezione di Szegö è limitato su B.
Dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica nel piano usando le serie di Fourier.

[26/10/2021] Convergenza nel senso di Abel della serie di Fourier e definizione del nucleo di Poisson.Il nucleo di Poisson è un'identità approssimata in L¹(T). Problema di Dirichlet sul disco unitario (dimensione 2) Legame tra le funzioni armonice in R² e funzioni olomorfe in C, proprietà delle funzioni armoniche; funzione armonica coniugata.

[27/10/2021] Costruzione di una funzione continua su T la cui serie di Fourier diverge in un punto. Il problema del calore su un filo circolare e nucleo di Gauss-Weierstrass.

[28/10/2021] Introduzione alla trasformata di Fourier di funzioni L¹(R): motivazioni, definizione, esempi e proprietà (linearità, relazione con gli operatori di traslazione, coniugazione e dilatazione, limitatezza per funzioni L¹ , convoluzione). La trasformata di una funzione L¹ è (uniformemente) continua. Lemma di Riemann-Lebesgue. Trasformata di Fourier della derivata di una funzione regolare; condizioni per la derivabilità della trasformata di una funzione L¹(R). Velocità di decadimento ad infinito della trasformata di Fourier di una funzione C^m e tutte le derivate fino all'ordine m in L¹(R). Calcolo della trasformata di Fourier della funzione e^{-T x^2} (con T>0). Formula di moltiplicazione per la trasformata di Fourier. Nuclei di sommabilità: definizioni ed esempi (costruzione di un nucleo di sommabilità a partire da funzioni in L¹(R) con integrale uguale ad 1). Nucleo di Gauss-Weierstrass.

[02/11/2021] Nucleo di Gauss-Weierstrass. Convoluzione con il nucleo di Gauss-Weierstrass. Formula di inversione di Gauss-Weierstrass per funzioni L¹. Teorema di inversione per funzioni L¹ la cui trasformata di Fourier è ancora in L¹. Unicità della trasformata di Fourier in L¹. Dimostrazione che se una funzione f in L¹ ha supporto compatto, allora la sua trasformata non può annullarsi identicamente in alcun intervallo aperto. Periodicizzazione di una funzione L¹(R) con periodoT. La periodicizzazione di una funzione L¹ (R) converge in L¹_T ad una funzione di L¹_T i cui coefficienti di Fourier sono (modulo un fattore moltiplicativo 1/T) i valori della trasformata calcolata negli 2𝞹n/T con n intero (Formula di Poisson). Se la funzione è continua e la funzione e la sua trasformata decadono sufficientemente veloce all'infinito O((1+|x|)^-a) con a>1, allora la periodicizzazione converge uniformemente ad una funzione continua e periodica di periodo T e coincide con la sua serie di Fourier in ogni x. Formula di Poisson.

[03/11/2021] Definizione della classe di Schwartz delle funzioni regolari a decrescita rapida e proprietà. Convergenza nella classe di Schwartz. Proprietà della trasformata e dell'anti-trasformata di Fourier per funzioni in S (teorema di inversione, formula di polarizzazione e uguaglianza di Plancherel). Definizione degli operatori F e F* (trasformata e anti-trasformata di Fourier) in L² e loro proprietà: sono lineari, continui, invertibili (uno l'inverso dell'altro), conservano la norma e il prodotto scalare in L² (R) (Teorema di Plancherel e uguaglianza di Plancherel in forma polare). La trasformata/anti-trasformata di Fourier in L² (R)∩L¹(R): relazione tra la definizione in L² (R) e in L¹ (R). Se f è in L² (R), allora F(f) coincide con il limite in L² della trasformata in L¹ della funzione f troncate su [-T,T], con T che tende all'infinito; se il limite delle trasformate in L¹ della funzione f troncata su [-T,T] esiste q.o., allora l'uguaglianza vale quasi ovunque. Se f è in L² (R) ed F(f) è in L² (R), allora l'antitrasformata in L¹ di F(f) coincide quasi ovunque con f. Proprietà della trasformata di Fourier in L² (R) rispetto al prodotto di convoluzione.

[04/11/2021] Disuguaglianza/Principio di indeterminazione di Heisenberg e caratterizzazione delle funzioni per cui vale uguaglianza.
Introduzione al teorema del campionamento e teorema di Shannon. Dimostrazione nel caso di funzioni a decrescita rapida (come conseguenza della formula di Poisson). Funzioni a Banda limitata e loro proprietà: è uno spazio di Hilbert e rappresentazione delle funzioni a banda limitata come convoluzione di sé stesse con la trasformata della funzione caratteristica.

[09/11/2021] Base ortonormale dello spazio delle funzioni a Banda limitata; la convergenza nella norma L² nello spazio delle funzione a banda limitata, implica la convergenza uniforme. Dimostrazione del teorema di Shannon (caso generale). Accenni all'oversampling e all'undersampling.
Funzioni intere di tipo esponenziale e teorema di Paley Wiener: una funzione in L² ha supporto limitato, se e solo se la sua trasformata è la restrizione ad R di una funzione intera di tipo esponenziale (la dimostrazione dell'implicazione "se", sotto l'ipotesi piu' debole che la funzione funzione intera sia in modulo limitata da Ce^AIm(z)|). Caratterizzazione della trasformata di fourier di funzioni C^∞_c (è la restrizione ad R di una funzione intera con certe proprietà di crescita di tipo esponenziale). (Questo materiale si può trovare qui: pdf ).

[10/11/2021] Estensione della definizione e dei risultati visti per la trasformate di Fourier nel caso multidimensionale (R^d). Applicazione alle trasformata raggi-X e transformata di Radon in R³. Iniettività della trasformata di Radon nella classe di Schwarz (unicità) e problema di ricostruzione (trasformata di Radon duale) per funzioni nella classe di Schwarz (si veda [SS, Cap. 6 Sez. 5]).

[16/11/2021] Introduzione al concetto di distribuzione: idea e motivazioni. Spazio delle funzioni test: funzioni C^∞_c (funzioni regolari a supporto compatto) esempi e nozione di convergenza in questo spazo. Definizione di distribuzione, di distribuzione di ordine finito. Esempi: funzioni L1_loc e misure sono distribuzioni di ordine 0, esempi di distribuzioni di ordine finito e di ordine non finito. Misure e distribuzioni di ordine 0 coincidono.
Alcuni appunti: link

[23/11/2021] Una distribuzioni è determinata dal suo comportamento locale. Supporto di una distribuzione e proprietà. Caratterizzazione delle distribuzioni supportate su un punto. Derivata di una distribuzione: definizione ed esempi (derivata della funzione di Heaviside, derivata di una funzione C^1(Omega\{x_0}) e con derivata localmente integrabile vicino a x_0). Le distribuzioni con derivata nulla sono costanti. Moltiplicazione di una distribuzione per una funzione. Convergenza di successioni di distribuzioni. Alcuni appunti: link

[30/11/2021] Convoluzione di distribuzioni: convoluzione di una distribuzione con una funzione test (definizione e proprietà); convoluzione di due distribuzioni, di cui almeno una con supporto compatto: definizione e proprietà. Distribuzioni temperate. Trasformata/Antitrasformata di Fourier di una distribuzione temperata. Alcuni appunti: link

[14/12/2021] Proprietà della trasformata/antitrasformata di Fourier di una distribuzione temperata, ed esempi. Trasformata di una distribuzione traslata. Trasformata della delta di Dirac e dei polinomi. Alcuni appunti: link
Distribuzioni periodiche. Trasformata di Fourier di una distribuzione periodica. Serie di Fourier di una distribuzione periodica. Treno di impulsi. Trasformata di Fourier del treno di impulsi e relazione con la formula di Poisson (alcuni appunti sulle distribuzioni periodiche: pdf)

[21/12/2021] Soluzioni fondamentali di operatori differenziali a coefficienti costanti. Applicazione all'operatore del calore e all'operatore di Laplace (Alcuni appunti (cap. 4): pdf)