Méthode d’Euler

La méthode d'Euler est une méthode numérique simple pour résoudre des équations différentielles ordinaires (EDO) du premier ordre. Voici un organigramme textuel pour la méthode d'Euler : 

1. Début du processus

1. • Boîte ovale représentant le début du processus.

2. Saisie de l'équation différentielle et des conditions initiales

2. • Boîte rectangulaire contenant les étapes pour entrer l'équation différentielle dt/dy​=f(t,y) et les conditions initiales y(t0​)=y0​.

3. Choix de l'intervalle de temps et du nombre de pas

3. • Boîte rectangulaire pour spécifier l'intervalle de temps [t0​,tf​] et le nombre de pas n.

4. Calcul des pas de temps

4. • Boîte rectangulaire pour calculer les pas de temps Δt=(tf​−t0​ ​)/n

5. Initialisation des valeurs

5. • Boîte rectangulaire pour initialiser t et y : t=t0​ et y=y0​.

6. Itération sur les pas de temps

6. • Boîte rectangulaire contenant une boucle pour i=1 à n.

6. • • Calcul de la pente à partir de l'équation différentielle : k=f(t,y).

     • Mise à jour des valeurs t et y : t=t+Δt et y=y+k⋅Δt.

7. Affichage des résultats

7. • Boîte rectangulaire contenant l'affichage des résultats.

8. Fin du processus

8. • Boîte ovale représentant la fin du processus

Vous pouvez mettre en œuvre la méthode d'Euler en utilisant le langage de programmation de votre choix. Voici un exemple de code MATLAB pour illustrer la méthode d'Euler : 

function [t, y] = methodeEuler(f, t0, tf, y0, n)

% f : fonction représentant l'équation différentielle dy/dt = f(t, y)

% t0 : temps initial

% tf : temps final

% y0 : condition initiale

% n : nombre de pas

% Calcul des pas de temps

dt = (tf - t0) / n;

% Initialisation des vecteurs de temps et de valeurs y

t = zeros(1, n+1);

y = zeros(1, n+1);

% Conditions initiales

t(1) = t0;

y(1) = y0;

% Itération sur les pas de temps

for i = 1:n

     % Calcul de la pente

     k = f(t(i), y(i));

     % Mise à jour des valeurs

     t(i+1) = t(i) + dt;

     y(i+1) = y(i) + k * dt;

end

end

Vous pouvez utiliser cette fonction de la manière suivante :

% Exemple : Résolution de l'équation différentielle dy/dt = -y avec condition initiale y(0) = 1 sur l'intervalle [0, 2] avec 10 pas.

f = @(t, y) -y;

t0 = 0;

tf = 2;

y0 = 1;

n = 10;

[t, y] = methodeEuler(f, t0, tf, y0, n);

% Affichage des résultats

plot(t, y, '-o');

xlabel('t');

ylabel('y');

title('Solution de l''équation différentielle par la méthode d''Euler');

Cet exemple résout l'équation différentielle dt/dy =−y avec condition initiale y(0)=1 sur l'intervalle[0,2] en utilisant la méthode d'Euler avec 10 pas. Vous pouvez ajuster l'équation différentielle, les conditions initiales et le nombre de pas selon vos besoins.